Menemukan Rumus Volume Kerucut dengan Integral

Setelah sebelumnya kita mencoba untuk membuktikan/mencari rumus volume bola dengan menggunakan integral (bisa dilihat di sini), pada kesempatan kali ini saya akan mencoba untuk membuktikan bangun ruang yang lain. Dan pilihannya jatuh pada bangun ruang kerucut.

Tekniknya juga masih sama, yaitu dengan menggunakan rumus volume benda putar dengan integral. Namun kalau sebelumnya bangun diputar terhadap sumbu $X$, maka kali ini bangun diputar terhadap sumbu $Y$. Rumus untuk volume benda putar terhadap sumbu $Y$ adalah sebagai berikut:

$V = \pi {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( y \right)} \right]} ^2}dy$

Dengan a = batas bawah, b = batas atas, dan f(y) fungsi f.

VOLUME KERUCUT

Gambar bangun ruang kerucut dengan menggunakan volume benda putar adalah sebagai berikut:

Persamaan garis pada gambar di atas adalah:

$\begin{array}{l}ax + by = ab\\tx + ry = tr\\ \Leftrightarrow tx = tr - ry\\ \Leftrightarrow x = \frac{{tr - ry}}{t}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{tr}}{t} - \frac{{ry}}{t}\\ \Leftrightarrow x = r - \frac{r}{t}y\end{array}$

Persamaan dalam $x$ ini dimasukkan dalam rumus di atas menjadi:

$\begin{array}{l}V = \pi {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( y \right)} \right]} ^2}dy\\V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} \\V = \pi {\int\limits_0^t {\left( {r - \frac{r}{t}y} \right)} ^2}dy\\V = \pi \int\limits_0^t {\left( {{r^2} - \frac{{2{r^2}}}{t}y + \frac{{{r^2}}}{{{t^2}}}{y^2}} \right)} dy\\V = \pi \left[ {{r^2}y - \frac{{2{r^2}}}{t}.\frac{1}{2}{y^2} + \frac{{{r^2}}}{{{t^2}}}.\frac{1}{3}{y^3}} \right]_0^t\\V = \pi \left[ {{r^2}y - \frac{{{r^2}}}{t}{y^2} + \frac{{{r^2}}}{{3{t^2}}}{y^3}} \right]_0^t\\V = \pi \left[ {\left( {{r^2}.t - \frac{{{r^2}}}{t}.{t^2} + \frac{{{r^2}}}{{3{t^2}}}.{t^3}} \right) - \left( 0 \right)} \right]\\V = \pi \left[ {\left( {{r^2}t - {r^2}t + \frac{1}{3}{r^2}t} \right)} \right]\\V = \pi \left[ {\frac{1}{3}{r^2}t} \right]\\V = \frac{1}{3}\pi {r^2}t\end{array}$

Kesimpulan

Dari hasil terakhir terbukti bahwa rumus untuk Volume Kerucut adalah

\[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}t\]

Dengan r = jari-jari alas kerucut dan t = tinggi kerucut

Demikian corat-coret dari saya. Semoga bermanfaat