Menentukan Rumus Luas Permukaan Bola dengan Menggunakan Integral

Tentang Bola

Bola adalah bangun ruang sisi lengkung yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu pada ruang dimensi 3. Setelah sebelumnya kita mencoba untuk mencari volume bola, maka pada kesempatan kali ini saya akan mencoba untuk mencari rumus luas permukaan bola tentunya dengan menggunakan pendekatan luas permukaan benda putar.

Luas permukaan Bola

Persamaan lingkaran pada gambar di atas adalah:

$\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = {r^2}\\{y^2} = {r^2} - {x^2}\\y =  \pm \sqrt {{r^2} - {x^2}} \end{array}$

Diperoleh:

$y = \sqrt {{r^2} - {x^2}}  \vee y =  - \sqrt {{r^2} - {x^2}}$

Dengan menggunakan rumus luas permukaan benda putar didapatkan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} y = \sqrt {{r^2} - {x^2}} \\ \Leftrightarrow y = {\left( {{r^2} - {x^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\\ \Leftrightarrow y' = \frac{1}{2}. - 2x.{\left( {{r^2} - {x^2}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\\ \Leftrightarrow y' = \frac{{ - x}}{{\sqrt {{r^2} - {x^2}} }}\\ L = 2\pi \int\limits_a^b {y\sqrt {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} } dx\\ \Leftrightarrow L = 2\pi \int\limits_{ - r}^r {\sqrt {{r^2} - {x^2}} .\sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{ - x}}{{\sqrt {{r^2} - {x^2}} }}} \right]}^2}} } dx\\ \Leftrightarrow L = 2\pi \int\limits_{ - r}^r {\sqrt {{r^2} - {x^2}} .\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{r^2} - {x^2}}}} } dx\\ \Leftrightarrow L = 2\pi \int\limits_{ - r}^r {\sqrt {{r^2} - {x^2}} .\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{{r^2} - {x^2}}}} } dx\\ \Leftrightarrow L = 2\pi \int\limits_{ - r}^r {\sqrt {\left( {{r^2} - {x^2}} \right)\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{r^2} - {x^2}}}} \right)} } dx\\ \Leftrightarrow L = 2\pi \int\limits_{ - r}^r {\sqrt {\left( {{r^2} - {x^2}} \right) + {x^2}} } dx\\ \Leftrightarrow L = 2\pi \int\limits_{ - r}^r {\sqrt {{r^2}} } dx\\ \Leftrightarrow L = 2\pi \int\limits_{ - r}^r r dx\\ \Leftrightarrow L = 2\pi \left[ {rx} \right]_{ - r}^r\\ \Leftrightarrow L = 2\pi \left[ {r.r - r.\left( { - r} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow L = 2\pi \left[ {{r^2} + {r^2}} \right]\\ \Leftrightarrow L = 4\pi {r^2} \end{array}$

KESIMPULAN

Luas permukaan bola dengan jari-jari (r) adalah

$L = 4\pi {r^2}$

Semoga bermanfaat