Operasi pada Bilangan Bulat

Penjumlahan

Operasi penjumlahan adalah operasi yang melibatkan tanda $+$. Pada garis bilangan, bilangan bulat yang ditambahkan dengan dengan bilangan bulat positif posisinya akan bergeser ke kanan (nilainya semakin besar). Sedangkan jika ditambahkan dengan bilangan negatif, maka posisi bilangan tersebut akan bergeser ke kiri (nilai semakin kecil).

Penjumlahan dengan Garis Bilangan

Dengan menggunakan garis bilangan, bilangan yang akan kita jumlahkan digambarkan sebagai anak panah yang berasal dari titik nol ($0$) dengan nilai bilangan ditunjukkan dengan panjang anak panah tersebut. Bilangan positif ke arah kanan, sedangkan bilangan negatif ke arah kiri. Berikut ini beberapa contoh penyelesaian operasi penjumlahan bilangan bulat dengan bantuan garis bilangan.

1. $5 + 3$

Bilangan $5$ digambarkan dengan anak panah ke arah kanan dari titik $0$ sepanjang 5 satuan. Bilangan tersebut ditambah $3$ dengan cara membuat anak panah dari titik ujung panah yang pertama ke kanan sepanjang 3 satuan. Hasil dari penjumlahan dapat diperoleh dengan menggambar anak panah dari titik $0$ ke ujung panah yang kedua, atau dengan melihat skala yang tersera pada ujung panah yang kedua. Hasilnya adalah $8$. Untuk lebih jelasnya bisa lihat pada gambar berikut:


2. $6 + \left( { - 8} \right)$

Perhatikan gambar berikut:



Dengan melihat garis bilangan tersebut, hasil penjumlahannya adalah $-2$.

3. $\left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right)$

Perhatikan gambar berikut:



Dengan melihat garis bilangan tersebut, hasil penjumlahannya adalah $-7$.

Sifat-Sifat pada Penjumlahan

1. Tertutup

Bilangan bulat jika dijumlahkan dengan bilangan bulat yang lain maka hasilnya akan tetap bilangan bulat juga.

2. Komutatif

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat maka berlaku sebagai berikut:

$ \boxed{a + b = b + a}$

Contoh:

$\begin{array}{l} 2 + 3 = 3 + 2\\ 4 + \left( { - 5} \right) = \left( { - 5} \right) + 4 \end{array}$
3. Asosiatif

Jika $a$, $b$, dan $c$ bilangan bulat maka berlaku sebagai berikut:

$\boxed{\left( {a + b} \right) + c = a + \left( {b + c} \right)}$

Contoh:

$\begin{array}{l} \left( {2 + 3} \right) + 4 = 2 + \left( {3 + 4} \right)\\ \left( {6 + 7} \right) + \left( { - 4} \right) = 6 + \left( {7 + \left( { - 4} \right)} \right) \end{array}$
4. Identitas

Unsur identitas dari penjumlahan adalah nol ($0$) dan untuk $a$ bilangan bulat berlaku sebagai berikut:

$\boxed{\begin{array}{l} a + 0 = a\\ 0 + a = a \end{array}}$

Contoh:

$\begin{array}{l} 4 + 0 = 4\\ - 5 + 0 = - 5\\ 0 + 7 = 7 \end{array}$
5. Invers

Jika $a$ adalah bilangan bulat, maka invers dari $a$ adalah $-a$ dan berlaku:

$\boxed{\begin{array}{l} a + \left( { - a} \right) = 0\\ \left( { - a} \right) + a = 0 \end{array}}$

Contoh:

Invers dari $6$ adalah $-6$ dan berlaku $6 + \left( { - 6} \right) = 0$.

Invers dari $-4$ adalah $4$ dan berlaku $ - 4 + 4 = 0$.

Rumus Praktis Penjumlahan Bilangan Bulat

• $\left( { - a} \right) + \left( { - b} \right) = - \left( {a + b} \right)$
• $\left( { - a} \right) + b = b - a\left( {\text{jika a < b}} \right)$
• $\left( { - a} \right) + b = - \left( {a - b} \right)\left( {\text{jika a > b}} \right)$

Pengurangan

Pada bilangan bulat, mengurangi suatu bilangan sama artinya dengan menambahkan bilangan tersebut dengan lawan dari pengurangnya. Untuk setiap $a$ dan $b$ bilangan bulat berlaku:

$\boxed{a - b = a + \left( { - b} \right)}$

Contoh:

• $8 - 3 = 8 + \left( { - 3} \right) = 5$
• $7 - 9 = 7 + \left( { - 9} \right) = - 2$
• $ - 5 - 7 = - 5 + \left( { - 7} \right) = - 12$
• $ - 9 - 2 = - 9 + \left( { - 2} \right) = - 11$
• $8 - \left( { - 2} \right) = 8 + 2 = 10$
• $ - 9 - \left( { - 6} \right) = - 9 + 6 = - 3$

Perkalian

Operasi perkalian biasanya disimbolkan dengan tanda silang $\left( \times \right)$ atau tanda titik $\left( . \right)$. Konsep perkalian sesungguhnya berasal dari operasi penjumlahan yang berulang.

$\boxed{a \times b = \underbrace {b + b + \ldots + b}_{\text{a kali}}}$

Contoh:

$\begin{array}{l} 3 \times 2 = 2 + 2 + 2 = 6\\ 2 \times \left( { - 3} \right) = \left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right) = - 6 \end{array}$

Sifat-Sifat pada Perkalian

1. Tertutup

Bilangan bulat jika dikalikan dengan bilangan bulat yang lain maka hasilnya akan tetap bilangan bulat juga.

2. Komutatif

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat maka berlaku sebagai berikut:

$ \boxed{a \times b = b \times a}$

Contoh:

$\begin{array}{l} 2 \times 3 = 3 \times 2\\ 5 \times \left( { - 6} \right) = \left( { - 6} \right) \times 5 \end{array}$
3. Asosiatif

Jika $a$, $b$, dan $c$ bilangan bulat maka berlaku sebagai berikut:

$\boxed{\left( {a \times b} \right) \times c = a \times \left( {b \times c} \right)}$

Contoh:

$\begin{array}{l} \left( {2 \times 3} \right) \times 4 = 2 \times \left( {3 \times 4} \right)\\ \left( {6 \times 7} \right) \times \left( { - 4} \right) = 6 \times \left( {7 \times \left( { - 4} \right)} \right) \end{array}$
4. Identitas

Unsur identitas dari perkalian adalah satu ($1$) dan untuk $a$ bilangan bulat berlaku sebagai berikut:

$\boxed{\begin{array}{l} a \times 1 = a\\ 1 \times a = a \end{array}}$

Contoh:

$\begin{array}{l} 4 \times 1 = 4\\ - 5 \times 1 = - 5\\ 1 \times 7 = 7 \end{array}$
5. Distributif

Jika $a$, $b$, dan $c$ bilangan bulat, maka berlaku:

$\begin{array}{l} \boxed{a \times \left( {b + c} \right) = \left( {a \times b} \right) + \left( {a \times c} \right)} \Rightarrow \left( {\text{distributif terhadap penjumlahan}} \right)\\ \boxed{a \times \left( {b - c} \right) = \left( {a \times b} \right) - \left( {a \times c} \right)} \Rightarrow \left( {\text{distributif terhadap pengurangan}} \right) \end{array}$

Contoh:

$\begin{array}{l} 2 \times \left( {4 + 5} \right) = \left( {2 \times 4} \right) + \left( {2 \times 5} \right)\\ 3 \times \left( {6 - 2} \right) = \left( {3 \times 6} \right) - \left( {3 \times 2} \right)\\ 5 \times 999 &= 5 \times \left( {1.000 - 1} \right)\\ &= \left( {5 \times 1.000} \right) - \left( {5 \times 1} \right)\\ &= 5.000 - 5\\ &= 4.995 \end{array}$

Hasil Perkalian Bilangan Bulat

• Perkalian bilangan bulat yang bertanda sama selalu positif.

$\begin{array}{l} \boxed{+} \times \boxed{+} = \boxed{+} \\ \boxed{-} \times \boxed{-} = \boxed{+} \end{array}$

• Perkalian bilangan bulat yang berbeda tanda selalu negatif.

$\begin{array}{l} \boxed{+} \times \boxed{-} = \boxed{-} \\ \boxed{-} \times \boxed{+} = \boxed{-} \end{array}$

Pembagian

Operasi pembagian adalah kebalikan dari perkalian. Jika $2 \times 4 = 8$ maka $8 \div 4 = 2$ atau $8 \div 2 = 4$. Sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut:

Jika $a$, $b$, dan $c$ adalah bilangan bulat dan $b \ne 0$ maka $\boxed{a \div b = c}$ jika dan hanya jika $\boxed{a = b \times c}$

Contoh:

$\begin{array}{l} 3 \times 4 = 12 \Rightarrow 12 \div 4 = 3\\ \left( { - 3} \right) \times 5 = - 15 \Rightarrow - 15 \div 5 = - 3\\ 2 \times \left( { - 4} \right) = - 8 \Rightarrow - 8 \div \left( { - 4} \right) = 2\\ \left( { - 5} \right) \times \left( { - 4} \right) = 20 \Rightarrow 20 \div \left( { - 4} \right) = - 5 \end{array}$

Hasil Pembagian Bilangan Bulat

• Pembagian bilangan bulat yang bertanda sama selalu positif.

$\begin{array}{l} \boxed{+} \times \boxed{+} = \boxed{+} \\ \boxed{-} \times \boxed{-} = \boxed{+} \end{array}$

• Pembagian bilangan bulat yang berbeda tanda selalu negatif.

$\begin{array}{l} \boxed{+} \times \boxed{-} = \boxed{-} \\ \boxed{-} \times \boxed{+} = \boxed{-} \end{array}$

Pembagian Bilangan Bulat dengan Nol

Untuk setiap bilangan bulat $a$, $a \div 0$ tidak terdefinisi.

Contoh:

$\begin{array}{l} 4 \div 0 = \text{tidak terdefinisi}\\ \frac{{ - 2}}{0} = \text{tidak terdefinisi} \end{array}$

Pembagian Bilangan Bulat oleh Nol

Untuk setiap bilangan bulat $a$, berlaku $\boxed{0 \div a = 0}$.

Contoh:

$\begin{array}{l} 0 \div 5 = 0\\ 0 \div \left( { - 7} \right) = 0 \end{array}$