Integral Tertentu untuk Menghitung Luas Permukaan Benda Putar

Pengertian Benda Putar

Benda putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah terhadap garis tertentu (sumbu rotasi).

Luas Permukaan Benda Putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu X

Jika $y = f\left( x \right)$ adalah kurva yang mulus dan $f\left( x \right) \ge 0$ pada interval $a \le x \le b$, maka luas permukaan benda putar yang dihasilkan dari perputaran kurva $y = f\left( x \right)$ antara $x=a$ dan $x=b$ terhadap sumbu $X$ ditentukan dengan rumus berikut:

\[\boxed{L = 2\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} dx}\]

Luas Permukaan Benda Putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu Y

Jika $x = g\left( y \right)$ adalah kurva yang mulus dan $g\left( y \right) \ge 0$ pada interval $c \le y \le d$, maka luas permukaan benda putar yang dihasilkan dari perputaran kurva $x = g\left( y \right)$ antara $y=c$ dan $y=d$ terhadap sumbu $Y$ ditentukan dengan rumus berikut:

\[\boxed{L = 2\pi \int\limits_c^d {g\left( y \right)} .\sqrt {1 + {{\left[ {g'\left( y \right)} \right]}^2}} dy}\]

Contoh Soal

Hitunglah luas permukaan (luas selimut) dari benda putar berikut:

1. Benda putar yang diperoleh dari kurva $y=4$ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu X dari $x=0$ sampai dengan $x=3$
2. Benda putar yang diperoleh dari kurva $y = 2x$ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu Y dari $y=0$ sampai dengan $y=2$
3. Benda putar yang diperoleh dari kurva $y = \sqrt x $ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu X dari $x=0$ sampai dengan $x=4$
4. Benda putar yang diperoleh dari kurva $y = \sqrt {1 - {x^2}} $ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu X dari $x=0$ sampai dengan $x=1$

Jawab

1. Benda putar yang diperoleh dari kurva $y=4$ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu X dari $x=0$ sampai dengan $x=3$

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = y = 4\\ f'\left( x \right) = 0\\ a = 0\\ b = 3\\ L = 2\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} dx\\ = 2\pi \int\limits_0^3 {4.\sqrt {1 + {0^2}} } dx\\ = 2\pi \int\limits_0^3 {4.\sqrt 1 } dx\\ = 2\pi \int\limits_0^3 4 dx\\ = 8\pi \left[ x \right]_0^3\\ = 8\pi \left( {3 - 0} \right)\\ = 8\pi \left( 3 \right)\\ = 24\pi \end{array}$

Jadi, luas permukaan benda putar yang diperoleh dari kurva $y=4$ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu X dari $x=0$ sampai dengan $x=3$ adalah $24\pi $ satuan luas.

2. Benda putar yang diperoleh dari kurva $y = 2x$ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu Y dari $y=0$ sampai dengan $y=2$

$\begin{array}{l} g\left( y \right) = x = \frac{1}{2}y\\ g'\left( y \right) = \frac{1}{2}\\ c = 0\\ d = 2\\ L = 2\pi \int\limits_c^d {g\left( y \right)} .\sqrt {1 + {{\left[ {g'\left( y \right)} \right]}^2}} dy\\ = 2\pi \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{2}y} \right).\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} } dy\\ = 2\pi \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{2}y} \right).\sqrt {1 + \left( {\frac{1}{4}} \right)} } dy\\ = \pi \int\limits_0^2 {y.\sqrt {\frac{5}{4}} } dy\\ = \frac{1}{2}\pi \int\limits_0^2 {y.\sqrt 5 } dy\\ = \frac{1}{2}\pi \sqrt 5 \int\limits_0^2 y dy\\ = \frac{1}{2}\pi \sqrt 5 \left[ {\frac{1}{2}{y^2}} \right]_0^2\\ = \frac{1}{2}\pi \sqrt 5 \left( {\frac{1}{2}{{.2}^2} - \frac{1}{2}{{.0}^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\pi \sqrt 5 \left( 2 \right)\\ = \pi \sqrt 5 \end{array}$

Jadi, luas permukaan benda putar yang diperoleh dari kurva $y = 2x$ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu Y dari $y=0$ sampai dengan $y=2$ adalah $\pi \sqrt 5 $ satuan luas.

3. Benda putar yang diperoleh dari kurva $y = \sqrt x $ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu X dari $x=0$ sampai dengan $x=4$

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = y = \sqrt x \\ f'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ a = 0\\ b = 4\\ L = 2\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} dx\\ = 2\pi \int\limits_0^4 {\sqrt x } .\sqrt {1 + {{\left[ {\frac{1}{{2\sqrt x }}} \right]}^2}} dx\\ = 2\pi \int\limits_0^4 {\sqrt x } .\sqrt {1 + \frac{1}{{4x}}} dx\\ = 2\pi \int\limits_0^4 {\sqrt {x + \frac{1}{4}} dx} \\ = 2\pi \left[ {\frac{2}{3}\left( {x + \frac{1}{4}} \right)\sqrt {x + \frac{1}{4}} } \right]_0^4\\ = \frac{4}{3}\pi \left[ {\left( {\left( {4 + \frac{1}{4}} \right)\sqrt {4 + \frac{1}{4}} } \right) - \left( {\left( {0 + \frac{1}{4}} \right)\sqrt {0 + \frac{1}{4}} } \right)} \right]\\ = \frac{4}{3}\pi \left[ {\left( {\frac{{17}}{4}\sqrt {\frac{{17}}{4}} } \right) - \left( {\left( {\frac{1}{4}} \right)\sqrt {\frac{1}{4}} } \right)} \right]\\ = \frac{4}{3}\pi \left[ {\left( {\frac{{17}}{4}.\frac{1}{2}\sqrt {17} } \right) - \left( {\frac{1}{4}.\frac{1}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{4}{3}\pi \left[ {\left( {\frac{{17}}{8}\sqrt {17} } \right) - \left( {\frac{1}{8}} \right)} \right]\\ = \frac{4}{3}\pi .\frac{1}{8}\left( {17\sqrt {17} - 1} \right)\\ = \frac{1}{6}\left( {17\sqrt {17} - 1} \right)\pi \end{array}$

Jadi, luas permukaan benda putar yang diperoleh dari kurva $y = \sqrt x $ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu X dari $x=0$ sampai dengan $x=4$ adalah $\frac{1}{6}\left( {17\sqrt {17} - 1} \right)\pi $ satuan luas.

4. Benda putar yang diperoleh dari kurva $y = \sqrt {1 - {x^2}} $ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu X dari $x=0$ sampai dengan $x=1$

$\large{\begin{array}{l} f\left( x \right) = y = \sqrt {1 - {x^2}} \\ f'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\ a = 0\\ b = 1\\ L = 2\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} dx\\ = 2\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } .\sqrt {1 + {{\left[ {\frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right]}^2}} dx\\ = 2\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } .\sqrt {1 + \frac{{{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} dx\\ = 2\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } .\sqrt {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 - {x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{1 - {x^2}}}} dx\\ = 2\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} } .\sqrt {\frac{1}{{1 - {x^2}}}} dx\\ = 2\pi \int\limits_0^1 {dx} \\ = 2\pi \left[ x \right]_0^1\\ = 2\pi \left( {1 - 0} \right)\\ = 2\pi \end{array}}$

Jadi, luas permukaan benda putar yang diperoleh dari kurva $y = \sqrt {1 - {x^2}} $ yang diputar ${360^ \circ }$ terhadap sumbu X dari $x=0$ sampai dengan $x=1$ adalah $2\pi $ satuan luas.