Integral Tertentu untuk Menghitung Volume Benda Putar

Pengertian Benda Putar

Benda putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah terhadap garis tertentu (sumbu rotasi).

Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar Terhadap Sumbu X

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = f\left( x \right)$, sumbu $X$, garis $x=a$, dan garis $x=b$ diputar sejauh ${360^ \circ }$ mengelilingi sumbu $X$, maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan rumus:

\[\begin{array}{l} \boxed{V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}} dx}\\ atau\\ \boxed{V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} dx} \end{array}\]

Volume Benda Putar dari Daerah yang Diputar Terhadap Sumbu Y

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva $x = g\left( y \right)$, sumbu $Y$, garis $y=c$, dan garis $y=d$ diputar sejauh ${360^ \circ }$ mengelilingi sumbu $Y$, maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan rumus:

\[\begin{array}{l} \boxed{V = \pi \int\limits_c^d {{x^2}} dy}\\ atau\\ \boxed{V = \pi \int\limits_c^d {{{\left[ {g\left( y \right)} \right]}^2}} dy} \end{array}\]

Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva yang Diputar Terhadap Sumbu X

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva ${y_1} = f\left( x \right)$, kurva ${y_2} = g\left( x \right)$, garis $x=a$, dan garis $x=b$ diputar sejauh ${360^ \circ }$ mengelilingi sumbu $X$, maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan rumus:

\[\begin{array}{l} \boxed{V = \pi \int\limits_a^b {\left( {y_1^2 - y_2^2} \right)} dx}\\ atau\\ \boxed{V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right]} dx} \end{array}\]

Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva yang Diputar Terhadap Sumbu Y

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva ${x_1} = f\left( y \right)$, kurva ${x_2} = g\left( y \right)$, garis $y=c$, dan garis $y=d$ diputar sejauh ${360^ \circ }$ mengelilingi sumbu $Y$, maka volume atau isi benda putar yang terjadi ditentukan dengan rumus:

\[\begin{array}{l} \boxed{V = \pi \int\limits_c^d {\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)} dy}\\ atau\\ \boxed{V = \pi \int\limits_c^d {\left[ {{f^2}\left( y \right) - {g^2}\left( y \right)} \right]} dy} \end{array}\]

Latihan

1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi dari daerah-daerah yang diarsir berikut jika diputar sejauh ${360^ \circ }$ mengelilingi sumbu $X$!


2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi dari daerah-daerah yang diarsir berikut jika diputar sejauh ${360^ \circ }$ mengelilingi sumbu $Y$!

Jawab

1. Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis $y=2$, sumbu $X$, garis $x=0$, dan $x=3$. Jika daerah yang diarsir tersebut diputar sejauh ${360^ \circ }$ mengelilingi sumbu $X$, volume benda putar yang terjadi dirumuskan sebagai berikut:
$\begin{array}{l} f\left( x \right) = y = 2\\ a = 0\\ b = 3\\ V &= \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}} dx\\ &= \pi \int\limits_0^3 {{{\left[ 2 \right]}^2}} dx\\ &= \pi \int\limits_0^3 4 dx\\ &= \pi \left[ {4x} \right]_0^3\\ &= \pi \left( {4.3 - 4.0} \right)\\ &= 12\pi \end{array}$

Jadi, Volume benda putar yang terjadi adalah $12\pi $ satuan volume.

2. Daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva $f\left( x \right) = {y_1} = - x + 2$ dan kurva $g\left( x \right) = {y_2} = {x^2}$ dengan $f\left( x \right) \ge g\left( x \right)$ pada daerah yang diarsir. Sebelum menentukan volume, terlebih dahulu ditentukan batas bawah dan batas atas pengintegralan sebagai berikut:
$\begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right)\\ \Leftrightarrow - x + 2 = {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2\\ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\\ a = - 2\\ b = 1 \end{array}$

Jika daerah yang diarsir tersebut diputar sejauh ${360^ \circ }$ mengelilingi sumbu $X$, volume benda putar yang terjadi dirumuskan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right]} dx\\ = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{{\left( { - x + 2} \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right]} dx\\ = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {{x^2} - 4x + 4 - {x^4}} \right]} dx\\ = \pi \left[ {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - \frac{1}{5}{x^5}} \right]_{ - 2}^1\\ = \pi \left[ {\left( {\frac{1}{3}{{.1}^3} - {{2.1}^2} + 4.1 - \frac{1}{5}{{.1}^5}} \right) - \left( {\frac{1}{3}.{{\left( { - 2} \right)}^3} - 2.{{\left( { - 2} \right)}^2} + 4.\left( { - 2} \right) - \frac{1}{5}.{{\left( { - 2} \right)}^5}} \right)} \right]\\ = \pi \left[ {\left( {\frac{1}{3} - 2 + 4 - \frac{1}{5}} \right) - \left( { - \frac{8}{3} - 8 - 8 + \frac{{32}}{5}} \right)} \right]\\ = \frac{{72}}{5}\pi \end{array}$

Jadi, Volume benda putar yang terjadi adalah $\frac{{72}}{5}\pi $ satuan volume.

1. Daerah yang diarsir dibatasi oleh garis $y = 3x - 2$, sumbu $Y$, garis $y=1$, dan $y=2$. Jika daerah yang diarsir tersebut diputar sejauh ${360^ \circ }$ mengelilingi sumbu $Y$, volume benda putar yang terjadi dirumuskan sebagai berikut:
$\begin{array}{l} y = 3x - 2\\ \Leftrightarrow 3x = y + 2\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}y + \frac{2}{3}\\ g\left( y \right) = x = \frac{1}{3}y + \frac{2}{3}\\ c = 1\\ d = 2\\ V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left[ {g\left( y \right)} \right]}^2}dy} \\ = \pi \int\limits_1^2 {{{\left[ {\frac{1}{3}y + \frac{2}{3}} \right]}^2}dy} \\ = \pi \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{9}{y^2} + \frac{4}{9}y + \frac{4}{9}} \right)dy} \\ = \frac{1}{9}\pi \int\limits_1^2 {\left( {{y^2} + 4y + 4} \right)dy} \\ = \frac{1}{9}\pi \left[ {\frac{1}{3}{y^3} + 2{y^2} + 4y} \right]_1^2\\ = \frac{1}{9}\pi \left[ {\left( {\frac{1}{3}{{.2}^3} + {{2.2}^2} + 4.2} \right) - \left( {\frac{1}{3}{{.1}^3} + {{2.1}^2} + 4.1} \right)} \right]\\ = \frac{1}{9}\pi \left[ {\left( {\frac{8}{3} + 8 + 8} \right) - \left( {\frac{1}{3} + 2 + 4} \right)} \right]\\ = \frac{1}{9}\pi \left( {\frac{8}{3} + 8 + 8 - \frac{1}{3} - 2 - 4} \right)\\ = \frac{{37}}{{27}}\pi \end{array}$

Jadi, Volume benda putar yang terjadi adalah $\frac{{37}}{{27}}\pi $ satuan volume.

2. Daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva $y = {x^2} \Rightarrow f\left( y \right) = \sqrt y $ dan kurva $y = \sqrt x \Rightarrow g\left( y \right) = {y^2}$ dengan $f\left( y \right) \ge g\left( y \right)$ pada daerah yang diarsir. Sebelum menentukan volume, terlebih dahulu ditentukan batas bawah dan batas atas pengintegralan sebagai berikut:
$\begin{array}{l} f\left( y \right) = g\left( y \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt y = {y^2}\\ \Leftrightarrow y = {y^4}\\ \Leftrightarrow y - {y^4} = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {1 - {y^3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y = 0 \vee 1 - {y^3} = 0\\ \Leftrightarrow y = 0 \vee y = 1\\ c = 0\\ d = 1 \end{array}$

Jika daerah yang diarsir tersebut diputar sejauh ${360^ \circ }$ mengelilingi sumbu $Y$, volume benda putar yang terjadi dirumuskan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} V = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( y \right) - {g^2}\left( y \right)} \right]dy} \\ = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {\sqrt y } \right)}^2} - {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right]dy} \\ = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {y - {y^4}} \right]dy} \\ = \pi \left[ {\frac{1}{2}{y^2} - \frac{1}{5}{y^5}} \right]_0^1\\ = \pi \left[ {\left( {\frac{1}{2}{{.1}^2} - \frac{1}{5}{{.1}^5}} \right) - \left( {\frac{1}{2}{{.0}^2} - \frac{1}{5}{{.0}^5}} \right)} \right]\\ = \pi \left[ {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5}} \right) - \left( 0 \right)} \right]\\ = \frac{3}{{10}}\pi \end{array}$

Jadi, Volume benda putar yang terjadi adalah $\frac{3}{{10}}\pi $ satuan volume.