Segitiga

Pengertian Segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang dibatas oleh tiga buah sisi yang berupa garis lurus dan memiliki tiga buah sudut.

Segitiga dengan tiga sudut yaitu $\angle A$, $\angle B$, dan $\angle C$ disebut dengan segitiga ABC dan dilambangkan dengan $\Delta ABC$. $\angle A$, $\angle B$, dan $\angle C$ disebut sebagai sudut dalam segitiga. Sisi-sisi pada segitiga dapat diberi nama sesuai dengan nama sudut yang ada di depannya. Sisi $BC$ berada di depan $\angle A$ dan diberi nama sisi $a$, Sisi $AC$ berada di depan $\angle B$ dan diberi nama sisi $b$, dan Sisi $AB$ berada di depan $\angle C$ dan diberi nama sisi $c$.

Jenis-Jenis Segitiga

Bangun segitiga dapat dibedakan jenisnya berdasarkan panjang sisi dan besar sudut.

1. Jenis segitiga berdasarkan panjang sisi.

berdasarkan panjang sisi, segitiga dapat dikelompokkan sebagai berikut.

1. Segitiga Samasisi

Segitiga samasisi yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Akibatnya ketiga sudutnya juga sama besar yaitu ${60^ \circ }$.


2. Segitiga Samakaki

Segitiga samakaki yaitu segitiga yang dua sisinya sama panjang.


3. Segitiga Sembarang/Sebarang

Segitiga sembarang/sebarang adalah segitiga yang ketiga sisinya memiliki panjang berbeda.


2. Jenis segitiga berdasarkan besar sudut.

Berdasarkan besar sudutnya, segitiga dikelompokkan sebagai berikut.

1. Segitiga Lancip

Segitiga lancip yaitu segitiga yang ketiga sudutnya adalah sudut lancip.


2. Segitiga Siku-siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku atau ${90^ \circ }$


3. Segitiga Tumpul

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul.

Sifat-Sifat Segitiga

Ketaksamaan Segitiga

Misalkan $\Delta ABC$ dengan panjang sisi berturut-turut $a$, $b$, dan $c$, berlaku ketidaksamaan berikut:

$\begin{array}{l} a + b > c\\ a + c > b\\ b + c > a \end{array}$

Contoh 1

Selidikilah, apakah panjang sisi-sisi berikut dapat dibuat sebuah segitiga.

1. $3$ cm, $6$ cm, dan $8$ cm
2. $4$ cm, $7$ cm, dan $11$ cm
3. $5$ cm, $8$ cm, dan $14$ cm

Jawab

1. $3$ cm, $6$ cm, dan $8$ cm

Misal:

$\begin{array}{l} a = 3\\ b = 6\\ c = 8 \end{array}$

Untuk membuktikan ketiga sisi tersebut dapat dibuat sebuah segitiga harus memenuhi ketiga ketidaksamaan segitiga.

$\begin{array}{l} a + b &> c\\ \Leftrightarrow 3 + 6 &> 8\\ \Leftrightarrow 9 &> 8\left( {memenuhi} \right)\\ a + c &> b\\ \Leftrightarrow 3 + 8 &> 6\\ \Leftrightarrow 11 &> 6\left( {memenuhi} \right)\\ b + c &> a\\ \Leftrightarrow 6 + 8 &> 3\\ \Leftrightarrow 14 &> 3\left( {memenuhi} \right) \end{array}$

Dari hasil terakhir, diperoleh ketiga panjang sisi memenuhi ketidaksamaan segitiga. Jadi, panjang sisi-sisi $3$ cm, $6$ cm, dan $8$ cm dapat dibuat sebuah segitiga.

2. $4$ cm, $7$ cm, dan $11$ cm

Misal:

$\begin{array}{l} a = 4\\ b = 7\\ c = 11 \end{array}$

Untuk membuktikan ketiga sisi tersebut dapat dibuat sebuah segitiga harus memenuhi ketiga ketidaksamaan segitiga.

$\begin{array}{l} a + b &> c\\ \Leftrightarrow 4 + 7 &> 11\\ \Leftrightarrow 11 &> 11\left( {\text{tidak memenuhi}} \right)\\ a + c &> b\\ \Leftrightarrow 4 + 11 &> 7\\ \Leftrightarrow 15 &> 7\left( {memenuhi} \right)\\ b + c &> a\\ \Leftrightarrow 7 + 11 &> 4\\ \Leftrightarrow 18 &> 4\left( {memenuhi} \right) \end{array}$

Dari hasil terakhir, diperoleh ketiga panjang sisi tidak memenuhi ketidaksamaan segitiga. Jadi, panjang sisi-sisi $4$ cm, $7$ cm, dan $11$ cm tidak dapat dibuat menjadi sebuah segitiga.

3. $5$ cm, $8$ cm, dan $14$ cm

Misal:

$\begin{array}{l} a = 5\\ b = 8\\ c = 14 \end{array}$

Untuk membuktikan ketiga sisi tersebut dapat dibuat sebuah segitiga harus memenuhi ketiga ketidaksamaan segitiga.

$\begin{array}{l} a + b &> c\\ \Leftrightarrow 5 + 8 &> 14\\ \Leftrightarrow 13 &> 14\left( {\text{tidak memenuhi}} \right)\\ a + c &> b\\ \Leftrightarrow 5 + 14 &> 8\\ \Leftrightarrow 19 &> 8\left( {memenuhi} \right)\\ b + c &> a\\ \Leftrightarrow 8 + 14 &> 5\\ \Leftrightarrow 22 &> 5\left( {memenuhi} \right) \end{array}$

Dari hasil terakhir, diperoleh ketiga panjang sisi tidak memenuhi ketidaksamaan segitiga. Jadi, panjang sisi-sisi $5$ cm, $8$ cm, dan $14$ cm tidak dapat dibuat menjadi sebuah segitiga.

Sudut Dalam Segitiga

Misalkan segitiga $\Delta ABC$ dengan $\angle A$, $\angle B$, dan $\angle C$. Sudut $\angle A$, $\angle B$, dan $\angle C$ disebut sudut dalam segitiga dan berlaku hubungan:

\[\boxed{\angle A + \angle B + \angle C = {180^ \circ }}\]

Contoh 2

Diketahui $\Delta PQR$ dengan $\angle P = {60^ \circ }$ dan $\angle Q = {50^ \circ }$. Hitunglah besar $\angle R$.

Jawab

$\begin{array}{l} \angle P + \angle Q + \angle R &= {180^ \circ }\\ \Leftrightarrow {60^ \circ } + {50^ \circ } + \angle R &= {180^ \circ }\\ \Leftrightarrow {110^ \circ } + \angle R &= {180^ \circ }\\ \Leftrightarrow \angle R &= {180^ \circ } - {110^ \circ }\\ \Leftrightarrow \angle R &= {70^ \circ } \end{array}$

Jadi, besar $\angle R = {70^ \circ }$.

Contoh 3

Diketahui $\Delta KLM$ dengan $\angle K = {\left( {2x - 12} \right)^ \circ }$, $\angle L = {\left( {3x + 15} \right)^ \circ }$, dan $\angle M = {\left( {x + 5} \right)^ \circ }$, dan . Hitunglah nilai $x$ dan besar $\angle K$.

Jawab

$\begin{array}{l} \angle K + \angle L + \angle M &= {180^\circ }\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - 12} \right)^ \circ } + {\left( {3x + 15} \right)^ \circ } + {\left( {x + 5} \right)^ \circ } &= {180^ \circ }\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 12} \right) + \left( {3x + 15} \right) + \left( {x + 5} \right) &= 180\\ \Leftrightarrow 2x + 3x + x - 12 + 15 + 5 &= 180\\ \Leftrightarrow 6x + 8 &= 180\\ \Leftrightarrow 6x &= 180 - 8\\ \Leftrightarrow 6x &= 172\\ \Leftrightarrow x &= \frac{{172}}{6}\\ \Leftrightarrow x &= 28\frac{4}{6} = 28\frac{2}{3}\\ \angle K &= {\left( {2x - 12} \right)^ \circ }\\ &= {\left( {2.28\frac{2}{3} - 12} \right)^ \circ }\\ &= {\left( {51\frac{1}{3} - 12} \right)^ \circ }\\ \angle K &= 45{\frac{1}{3}^ \circ } \end{array}$

Jadi, nilai $x = 28\frac{2}{3}$ dan $\angle K = 45{\frac{1}{3}^ \circ }$.

Sudut Luar Segitiga

Sudut luar segitiga adalah sudut yang dibentuk oleh sisi segitiga dan perpanjangan sisi lainnya dari segitiga tersebut. Perhatikan gambar berikut.

$\angle CAD$ disebut sudut luar segitiga. Untuk menentukan besar sudut dan hubungannya dengan sudut dalam segitiga, dibuktikan sebagai berikut.

$\begin{array}{l} \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB &= {180^ \circ }\\ \Leftrightarrow \angle BAC &= {180^ \circ } - \left( {\angle ABC + \angle ACB} \right)\\ \angle CAD + \angle BAC &= {180^ \circ }\left( {berpelurus} \right)\\ \Leftrightarrow \angle CAD &= {180^ \circ } - \angle BAC\\ \Leftrightarrow \angle CAD &= {180^ \circ } - \left[ {{{180}^ \circ } - \left( {\angle ABC + \angle ACB} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \angle CAD &= {180^ \circ } - {180^ \circ } + \left( {\angle ABC + \angle ACB} \right)\\ \Leftrightarrow \angle CAD &= \cancel{{{{180}^ \circ }}} - \cancel{{{{180}^ \circ }}} + \left( {\angle ABC + \angle ACB} \right)\\ \Leftrightarrow \angle CAD &= \angle ABC + \angle ACB \end{array}$

Jadi, diperoleh $\angle CAD = \angle ABC + \angle ACB$

Sudut luar dari salah satu sudut dalam segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang lainnya.

Contoh 4

Tentukan besar $\angle CAD$ dari gambar berikut.

Jawab

$\begin{array}{l} \angle ABC &= {50^ \circ }\\ \angle ACB &= {60^ \circ }\\ \angle CAD &= \angle ABC + \angle ACB\\ &= {50^ \circ } + {60^ \circ }\\ &= {110^ \circ } \end{array}$

Jadi, $\angle CAD = {110^ \circ }$.

Garis-Garis Istimewa pada Segitiga

1. Garis Tinggi

Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga tegak lurus terhadap sisi yang ada di depannya.


2. Garis Bagi

Garis bagi adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga dan membagi sudut dalamnya menjadi dua sama besar.


3. Garis Berat

Garis berat adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga menuju pertengahan sisi yang ada didepannya.


4. Garis Sumbu

Garis sumbu adalah garis yang ditarik dari pertengahan sisi segitiga dan tegak lurus terhadap sisi tersebut.

Keliling Segitiga

Misal $\Delta ABC$ dengan panjang sisi berturut-turut $a$, $b$, dan $c$. Keliling dari segitiga tersebut dirumuskan sebagai berikut.

\[\boxed{K = a + b + c}\]

Contoh 5

Hitunglah keliling segitiga yang memiliki panjang sisi berturut-turut: $10$ cm, $12$ cm, dan $15$ cm.

Jawab

$\begin{array}{l} K &= a + b + c\\ &= 10 + 12 + 15\\ &= 37 \end{array}$

Jadi, keliling segitiga tersebut adalah $37$ cm.

Luas Segitiga

1. Segitiga yang diketahui panjang alas dan tinggi

Segitiga dengan panjang sisi alas $a$ dan tinggi $t$, maka luasnya dirumuskan sebagai berikut:

\[\boxed{\begin{array}{l} L = \frac{1}{2}a \times t\\ atau\\ L = \frac{{a \times t}}{2} \end{array}}\]

2. Segitiga yang diketahui panjang ketiga sisi

Segitiga dengan panjang sisi berturut-turut $a$, $b$, dan $c$, maka luasnya dirumuskan sebagai berikut:

\[\boxed{\begin{array}{l} s = \frac{1}{2}K = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\\ L = \sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)} \end{array}}\]

Contoh 6

Hitunglah luas dari segitiga yang diketahui unsur-unsurnya sebagai berikut:

1. alas = $6$ cm dan tinggi = $10$ cm.
2. alas = $4$ cm dan tinggi = $3$ cm.
3. panjang sisi berturut-turut $3$ cm, $4$ cm, dan $5$ cm.
4. panjang sisi berturut-turut $2$ cm, $2$ cm, dan $2$ cm.

Jawab

1. alas = $6$ cm dan tinggi = $10$ cm.
$\begin{array}{l} a &= 6\\ t &= 10\\ L &= \frac{1}{2}a \times t\\ &= \frac{1}{2}.6 \times 10\\ &= 3 \times 10\\ &= 30 \end{array}$

Jadi, luas segitiga adalah $30c{m^2}$.

2. alas = $4$ cm dan tinggi = $3$ cm.
$\begin{array}{l} a &= 4\\ t &= 3\\ L &= \frac{1}{2}a \times t\\ &= \frac{1}{2}.4 \times 3\\ &= 2 \times 3\\ &= 6 \end{array}$

Jadi, luas segitiga adalah $6c{m^2}$.

3. panjang sisi berturut-turut $3$ cm, $4$ cm, dan $5$ cm.
$\begin{array}{l} a &= 3\\ b &= 4\\ c &= 5\\ s &= \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\\ &= \frac{1}{2}\left( {3 + 4 + 5} \right)\\ &= \frac{1}{2}\left( {12} \right)\\ &= 6\\ L &= \sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)} \\ &= \sqrt {6\left( {6 - 3} \right)\left( {6 - 4} \right)\left( {6 - 5} \right)} \\ &= \sqrt {6.3.2.1} \\ &= \sqrt {36} \\ &= 6 \end{array}$

Jadi, luas segitiga adalah $6c{m^2}$.

4. panjang sisi berturut-turut $2$ cm, $2$ cm, dan $2$ cm.
$\begin{array}{l} a &= 2\\ b &= 2\\ c &= 2\\ s &= \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\\ &= \frac{1}{2}\left( {2 + 2 + 2} \right)\\ &= \frac{1}{2}\left( 6 \right)\\ &= 3\\ L &= \sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)} \\ &= \sqrt {3\left( {3 - 2} \right)\left( {3 - 2} \right)\left( {3 - 2} \right)} \\ &= \sqrt {3.1.1.1} \\ &= \sqrt 3 \end{array}$

Jadi, luas segitiga adalah $\sqrt 3c{m^2}$.