Menentukan Volume Bola dengan Menggunakan Integral Rangkap Dua

Pada postingan sebelumnya sudah pernah saya jabarkan bagaimana menentukan volume bola dengan menggunakan rumus volume benda putar yaitu dengan memutar persamaan lingkaran sejauh 360⁰ terhadap sumbu X atau sumbu Y.

Sedangkan pada kesempatan kali ini saya akan mencoba untuk menentukan rumus volume bola dengan menggunakan penerapan intergral rangkap dua.

Menentukan Volume Bola

Persamaan bola pada ruang dimensi 3 adalah

${x^2} + {y^2} + {z^2} = {r^2}$

Persamaan di atas adalah persamaan bola pada ruang dimensi 3 dengan jari-jari r dan pusat bola di titik O(0,0,0). Persamaan bola tersebut jika dinyatakan dalam variabel z menjadi

$\begin{array}{l}  {x^2} + {y^2} + {z^2} = {r^2} \\   \Leftrightarrow {z^2} = {r^2} - {x^2} - {y^2} \\   \Leftrightarrow z =  \pm \sqrt {{r^2} - {x^2} - {y^2}}  \\   \Leftrightarrow {z_1} = \sqrt {{r^2} - {x^2} - {y^2}}  \vee {z_2} =  - \sqrt {{r^2} - {x^2} - {y^2}}  \\  \end{array}$

Batas Pengintegralan

Jika kita lihat bentuk kurva geometris pada bidang kartesius, bola dengan titik pusat di O(0,0,0) akan terbagi menjadi 8 oktan yang bentuknya sama dan masing-masing oktan memiliki volume yang sama. Oleh karena itu, untuk mempermudah perhitungan kita bisa hanya mencari volume dari oktan I saja kemudian hasilnya kita kalikan dengan 8. Oktan I adalah seperdelapan bola yang terletak antara sumbu X positif, sumbu Y positif, dan sumbu Z positif. Karena hanya pada oktan I maka batas-batas pengintegralannya adalah sebagai berikut.

Batas x adalah 0 dan r.

Batas y adalah 0 dan kurva lingkaran positif pada bidang XY. Bisa dicari dengan cara berikut.

Irisan antara bidan XY dengan bola adalah

${x^2} + {y^2} = {r^2}$

Sehingga batas atas Y diperoleh sebagai berikut

$\begin{array}{l}  {x^2} + {y^2} = {r^2} \\   \Leftrightarrow {y^2} = {r^2} - {x^2} \\   \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {{r^2} - {x^2}}  \\   \Leftrightarrow {y_1} = \sqrt {{r^2} - {x^2}}  \vee {y_2} =  - \sqrt {{r^2} - {x^2}}  \\  \end{array}$

Karena kita ambil yang persamaan positif, batas atas untuk Y adakah

${y_1} = \sqrt {{r^2} - {x^2}}$

Volume Bola

Setelah batas-batas pengintegralan ditentukan selanjutnya kita cari rumus volume bola dengan rumus sebagai berikut

$V = 8\int\limits_0^r {\int\limits_0^{\sqrt {{r^2} - {x^2}} } {\sqrt {{r^2} - {x^2} - {y^2}} } dydx} $

Misalkan

$\sqrt {{r^2} - {x^2}}  = p \Rightarrow {r^2} - {x^2} = {p^2}$

Maka diperoleh

$\begin{array}{l}   \Leftrightarrow V = 8\int\limits_0^r {\int\limits_0^p {\sqrt {{p^2} - {y^2}} } dydx}  \\   \Leftrightarrow V = 8\int\limits_0^r {\left[ {\frac{1}{2}y\sqrt {{p^2} - {y^2}}  + \frac{1}{2}{p^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{y}{p}} \right)} \right]_0^pdx}  \\   \Leftrightarrow V = 4\int\limits_0^r {\left[ {y\sqrt {{p^2} - {y^2}}  + {p^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{y}{p}} \right)} \right]_0^pdx}  \\   \Leftrightarrow V = 4\int\limits_0^r {\left[ {\left( {p\sqrt {{p^2} - {p^2}}  + {p^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{p}{p}} \right)} \right) - \left( {0\sqrt {{p^2} - {0^2}}  + {p^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{0}{p}} \right)} \right)} \right]dx}  \\   \Leftrightarrow V = 4\int\limits_0^r {\left[ {\left( {0 + {p^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( 1 \right)} \right) - \left( {0 + {p^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( 0 \right)} \right)} \right]dx}  \\   \Leftrightarrow V = 4\int\limits_0^r {\left[ {\left( {{p^2}.\frac{\pi }{2}} \right) - \left( 0 \right)} \right]dx}  \\   \Leftrightarrow V = 2\pi \int\limits_0^r {\left( {{p^2}} \right)dx}  \\  \end{array}$

Dengan mengembalikan p pada bentuk awal diperoleh

$\begin{array}{l}
  \Leftrightarrow V = 2\pi \int\limits_0^r {\left( {{r^2} - {x^2}} \right)dx}  \\
  \Leftrightarrow V = 2\pi \left[ {{r^2}x - \frac{1}{3}{x^3}} \right]_0^r \\
  \Leftrightarrow V = 2\pi \left[ {\left( {{r^2}.r - \frac{1}{3}{r^3}} \right) - \left( {{r^2}.0 - \frac{1}{3}{0^3}} \right)} \right] \\
  \Leftrightarrow V = 2\pi \left[ {\left( {{r^3} - \frac{1}{3}{r^3}} \right) - \left( 0 \right)} \right] \\
  \Leftrightarrow V = 2\pi .\left( {\frac{2}{3}{r^3}} \right) \\
  \Leftrightarrow V = \frac{4}{3}\pi {r^3} \\
 \end{array}$

Dan akhirnya ketemu juga

Kesimpulan

Volume bola dengan jari-jari r adalah

\[V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\]

Semoga bermanfaat.