Menentukan Luas Elips dengan Menggunakan Integral

Elips adalah bangun datar yang masih satu keluarga dengan irisan kerucut yang berangotakan lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Elips didefinisikan dengan kumpulan titik-titik (lokus) pada bidang datar yang jumlah jaraknya sama terhadap dua titik tertentu yang sudah ditentukan sebelumnya. Kedua titik tersebut disebut sebagai titik-titik fokus elips.

Pada elips terdapat dua sumbu yang disebut sebagai sumbu mayor (a) dan sumbu minor (b). Sumbu mayor adalah jarak terpanjang antara pusat elips dengan titik pada elips, sedangkan sumbu minor adalah jarak terpendek antara pusat elips dengan titik pada elips.

Hubungan antara jarak fokus (c), panjang sumbu mayor (a), dan sumbu minor (b) pada elips adalah sebagai berikut:

${c^2} = {a^2} - {b^2}$

Luas Elips

Persamaan elips untuk titik pusat di O(0,0) sumbu mayor a dan sumbu minor b adalah

$\begin{array}{l}  \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \\   \Leftrightarrow {b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \\   \Leftrightarrow {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} - {b^2}{x^2} \\   \Leftrightarrow {y^2} = \frac{{{a^2}{b^2} - {b^2}{x^2}}}{{{a^2}}} \\   \Leftrightarrow {y^2} = {b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2} \\   \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}}  \\   \Leftrightarrow {y_1} = \sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}}  \vee {y_2} =  - \sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}}  \\  \end{array}$

Terdapat dua persamaan, untuk y₁ adalah persamaan yang di atas sumbu X sedangkan y₂ adalah persamaan yang berada di bawah sumbu X. Dengan menggunakan rumus luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dengan integral diperoleh:

$\begin{array}{*{20}{c}}    {L = \int\limits_{ - a}^a {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)} dx}  \\    { \Leftrightarrow L = \int\limits_{ - a}^a {\left( {\sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}}  - \left( { - \sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} } \right)} \right)} dx}  \\    { \Leftrightarrow L = \int\limits_{ - a}^a {\left( {2\sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} } \right)} dx}  \\    { \Leftrightarrow L = 2\int\limits_{ - a}^a {\left( {\sqrt {{b^2} - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} } \right)} dx}  \\    { \Leftrightarrow L = 2b\int\limits_{ - a}^a {\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{{{a^2}}}{x^2}} } \right)} dx}  \\    { \Leftrightarrow L = \frac{{2b}}{a}\int\limits_{ - a}^a {\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)} dx}  \\    { \Leftrightarrow L = \frac{{2b}}{a}\left[ {\frac{1}{2}x\sqrt {{a^2} - {x^2}}  + \frac{1}{2}{a^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{x}{a}} \right)} \right]_{ - a}^a}  \\    { \Leftrightarrow L = \frac{b}{a}\left[ {x\sqrt {{a^2} - {x^2}}  + {a^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{x}{a}} \right)} \right]_{ - a}^a}  \\ \end{array}$

$\begin{array}{*{20}{c}}    { \Leftrightarrow L = \frac{b}{a}\left[ {\left( {a\sqrt {{a^2} - {a^2}}  + {a^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{a}{a}} \right)} \right) - \left( { - a\sqrt {{a^2} - {x^2}}  + {a^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( {\frac{{ - a}}{a}} \right)} \right)} \right]}  \\    { \Leftrightarrow L = \frac{b}{a}\left[ {\left( {0 + {a^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( 1 \right)} \right) - \left( {0 + {a^2}{{\sin }^{ - 1}}\left( { - 1} \right)} \right)} \right]}  \\    { \Leftrightarrow L = \frac{b}{a}\left[ {\left( {{a^2}.\frac{\pi }{2}} \right) - \left( {{a^2}.\frac{{ - \pi }}{2}} \right)} \right]}  \\    { \Leftrightarrow L = \frac{b}{a}\left( {\pi {a^2}} \right)}  \\    { \Leftrightarrow L = \pi ab}  \\ \end{array}$

Kesimpulan

Luas Elips yang memiliki panjang sumbu mayor a dan sumbu minor b adalah

$L = \pi ab$

Contoh Soal

Tentukan luas elips yang memiliki nilai a = 10 cm dan b = 5 cm!

Jawab :

$\begin{array}{l}  L = \pi ab \\   \Leftrightarrow L = \pi .10.5 \\   \Leftrightarrow L = \begin{array}{*{20}{c}}    {50\pi } & {c{m^2}}  \\ \end{array} \\  \end{array}$

Semoga bermanfaat.