Pembuktian Pangkat Nol dan Pangkat Negatif

Perpangkatan bilangan adalah cara sederhana untuk menuliskan perkalian berulang. Perpangkatan didefinisikan sebagai berikut:

${a^n} = \underbrace {a \times a \times a \times  \cdots  \times a}_{\begin{array}{*{20}{c}} {sebanyak} n \\ \end{array}}$

a = basis/bilangan pokok

n = pangkat

Jika n bilangan bulat positif disebut bilangan berpangkat positif. Untuk $n = 0$ disebut bilangan berpangkat nol. Sedangkan untuk n bulat negatif disebut bilangan berpangkat negatif.

Pada bilangan berpangkat positif berlaku sifat-sifat sebagai berikut;

$\begin{array}{l} {a^x} \div {a^y} = {a^{x - y}} \\ {\left( {{a^x}} \right)^y} = {a^{xy}} \\ {\left( {a \times b} \right)^x} = {a^x} \times {b^x} \\ {\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} = \frac{{{a^x}}}{{{b^x}}} \\ \end{array}$

Pangkat Nol

Untuk menentukan nilai atau rumus untuk bilangan berpangkat nol, dapat dibuktikan dengan cara sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {a^0} = {a^{n - n}} \\ \Leftrightarrow {a^0} = {a^n} \div {a^n}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {ingat} {{a^x} \div {a^y} = {a^{x - y}}} \\ \end{array}} \right) \\
\Leftrightarrow {a^0} = \frac{{{a^n}}}{{{a^n}}} \\ \Leftrightarrow {a^0} = 1 \\ \end{array}$

Kesimpulan:

${a^0} = 1,a \ne 0$

Pangkat Negatif

Untuk menentukan rumus untuk bilangan berpangkat negatif, dapat dibuktikan dengan cara sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {a^{ - x}} = {a^{0 - x}} \\ \Leftrightarrow {a^{ - x}} = {a^0} \div {a^x}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {ingat} {{a^x} \div {a^y} = {a^{x - y}}} \\ \end{array}} \right) \\ \Leftrightarrow {a^{ - x}} = \frac{{{a^0}}}{{{a^x}}} \\ \Leftrightarrow {a^{ - x}} = \frac{1}{{{a^x}}},a \ne 0 \\ \end{array}$

Kesimpulan:

${a^{ - x}} = \frac{1}{{{a^x}}},a \ne 0$

Contoh Soal

Tentukan nilai dari bilangan berpangkat berikut:

$\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1.} {{7^0}} \\ \end{array} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {2.} {\left( {2x - 3y} \right)} \\ \end{array}^0} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {3.} {{3^{ - 3}}} \\ \end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {4.} {{4^{ - 2}}} \\ \end{array} \\ \end{array}$

Jawab:

$\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {1.} {{7^0} = 1} \\ \end{array} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {2.} {\left( {2x - 3y} \right)} \\ \end{array}^0} = 1 \\ \begin{array}{*{20}{c}} {3.} {{3^{ - 3}}} \\ \end{array} = \frac{1}{{{3^3}}} = \frac{1}{{27}} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {4.} {{4^{ - 2}}} \\ \end{array} = \frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{{16}} \\ \end{array}$

Semoga bermanfaat