Mengapa Nol Faktorial Hasilnya Sama Dengan Satu (0!=1)?

Untuk menyelesaikan permasalahan permutasi dan kombinasi mau tidak mau kita harus menggunakan faktorial. Faktorial dalam matematika didefinisikan sebagai berikut:

$n! = n \times \left( {n - 1} \right) \times \left( {n - 2} \right) \times  \cdots  \times 3 \times 2 \times 1$

Dari definisi di atas maka diperoleh:

$\begin{array}{l} 1! = 1 = 1\\ 2! = 2 \times 1 = 2\\ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\\ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \end{array}$

Dari contoh di atas untuk menentukan fatorial dari bilangan asli (1,2,3,4,5,...) tidak ada masalah dan mudah untuk dicari hasilnya.

Permasalahan akan kita temui jika yang kita faktorialkan adalah bilangan 0. Pada tingkat SMA biasanya $0!=1$ langsung diberikan tanpa ada pembuktian.

Pembuktian $0!=1$

Dari definisi diketahui:

$n! = n \times \left( {n - 1} \right) \times \left( {n - 2} \right) \times  \cdots  \times 3 \times 2 \times 1$

Jika kedua ruas dibagi $n$ diperoleh:

$\begin{array}{l} \frac{{n!}}{n} = \frac{{n \times \left( {n - 1} \right) \times \left( {n - 2} \right) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1}}{n}\\ \frac{{n!}}{n} = \left( {n - 1} \right) \times \left( {n - 2} \right) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1\\ \frac{{n!}}{n} = \left( {n - 1} \right)! \end{array}$

Jika kedua ruas dibalik diperoleh:

$\left( {n - 1} \right)! = \frac{{n!}}{n}$

Untuk $n = 1$ diperoleh:

$\begin{array}{l} \left( {n - 1} \right)! = \frac{{n!}}{n}\\ \left( {1 - 1} \right)! = \frac{{1!}}{1}\\ 0! = \frac{1}{1}\left( {1! = 1} \right)\\ \therefore 0! = 1 \end{array}$

(terbukti)

Akhirnya terbukti juga bahwa $0! = 1$.

Hilang sudah rasa penasaran kita.

Semoga bermanfaat.