Setelah kita telah mempelajari tentang pengertian himpunan dan jenis-jenis himpunan maka pada kesempatan kali ini kita akan mempelajari operasi himpunan. Operasi himpunan yang dimaksud di sini ada 4 yaitu irisan (intersection), gabungan (union), Selisih (differens), dan Komplemen.
OPERASI HIMPUNAN
1. IRISAN (INTERSECTION) $\left( \cap \right)$
Irisan antara himpunan A dan B adalah himpunan yang merupakan anggota A dan B. Atau dengan kata lain, irisan adalah himpunan yang anggotanya ada di kedua himpunan. Irisan antara himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut:
$A \cap B = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x|x \in A}&{dan}&{x \in B}
\end{array}} \right\}$
Contoh 1:
Diketahui:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,3,5,7,9}
Tentukan $A \cap B$
Jawab:
$\begin{array}{l}
A = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\\
B = \left\{ {2,3,5,7,9} \right\}
\end{array}$
Pada kedua himpunan tersebut terdapat dua anggota yang sama yaitu 2, 3 dan 5, maka
$A \cap B = \left\{ {2,3,5} \right\}$ .
Contoh 2:
Diketahui:
P = {bilangan genap}
Q = {bilangan prima}
Tentukan $P \cap Q$
Jawab:
$\begin{array}{l}
P = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{bilangan}&{genap}
\end{array}} \right\}\\
Q = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{bilangan}&{prima}
\end{array}} \right\}
\end{array}$
Pada kedua himpunan tersebut terdapat satu anggota yaitu bilangan genap dan sekaligus prima yaitu 2, maka
$P \cap Q = \left\{ {2} \right\}$ .
2. GABUNGAN (UNION) $\left( \cup \right)$
Gabungan antara himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya himpunan A atau himpunan B. Jika dinotasikan sebagai berikut:
$A \cup B = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x|x \in A}&{atau}&{x \in B}
\end{array}} \right\}$
Contoh 1:
Diketahui:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,3,5,7,9}
Tentukan $A \cup B$
Jawab:
$\begin{array}{l} A = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\\ B = \left\{ {2,3,5,7,9} \right\} \end{array}$
Jika anggota kedua himpunan tersebut digabung, maka anggota gabungan menjadi 1, 2, 3, 4, 5, 7, dan 9. Dengan catatan anggota yang sama hanya ditulis satu kali, maka
$A \cup B = \left\{ {1,2,3,4,5,7,9} \right\}$ .
Contoh 2:
Diketahui:
K = {1,2,3,4,5}
L = {2,3}
Tentukan $K \cup L$
Jawab:
$\begin{array}{l} K = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\\ L = \left\{ {2,3} \right\} \end{array}$
Jika anggota kedua himpunan tersebut digabung, maka anggota gabungan menjadi 1, 2, 3, 4, dan 5. Dengan catatan anggota yang sama hanya ditulis satu kali, maka
$K \cup L = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}$ .
3. SELISIH HIMPUNAN ($-$)
div>Selisih antara himpunan A dan B (A - B) adalah himpunan yang merupakan anggota himpunan A tetapi bukan anggota himpunan B. Dinotasikan sebagai berikut:
$A - B = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x|x \in A}&{dan}&{x \notin B}
\end{array}} \right\}$
Contoh 1:
Diketahui:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,3,5,7,9}
Tentukan $A - B$
Jawab:
$\begin{array}{l} A = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\\ B = \left\{ {2,3,5,7,9} \right\} \end{array}$
Anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B adalah 1, 4, dan 5. Sehingga diperoleh
$A - B = \left\{ {1,4,5} \right\}$ .
Contoh 2:
Diketahui:
Y = {1,2,3,4,5,6}
Z = {2,3,5,7,9,11}
Tentukan $Z - Y$
Jawab:
$\begin{array}{l} Y = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\\ Z = \left\{ {2,3,5,7,9,11} \right\} \end{array}$
Anggota himpunan Z yang bukan anggota himpunan Y adalah 7, 9, dan 11. Sehingga diperoleh
$Z - Y = \left\{ {7,9,11} \right\}$ .
4. KOMPLEMEN
Komplemen himpunan A \[\left( {{A^c}} \right)\] adalah himpunan yang anggotanya selain A tetapi masih anggota himpunan semesta (S). Dinotasikan sebagai berikut:
${A^c} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x|x \notin A}&{dan}&{x \in S}
\end{array}} \right\}$
Contoh 1:
Diketahui:
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {2,3,5,7,9}
Tentukan ${A^c}$
Jawab:
$\begin{array}{l} S = \left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} \right\}\\ A = \left\{ {2,3,5,7,9} \right\} \end{array}$
Yang bukan anggota himpunan A tetapi masih anggota S adalah 1, 4, 6, 8, dan 10. Sehingga diperoleh
${A^c} = \left\{ {1,4,6,8,10} \right\}$ .
5. SIFAT-SIFAT OPERASI PADA HIMPUNAN
Berikut ini beberapa sifat-sifat yang berlaku pada operasi himpunan.
a. Sifat Komutatif,
$A \cap B = B \cap A$ dan
$A \cup B = B \cup A$.
b. Sifat Identitas
$\begin{array}{l}
A \cap \emptyset = \emptyset \\
A \cup \emptyset = A
\end{array}$
c. Sifat Assosiatif
$\begin{array}{l}
\left( {A \cap B} \right) \cap C = A \cap \left( {B \cap C} \right)\\
\left( {A \cup B} \right) \cup C = A \cup \left( {B \cup C} \right)
\end{array}$
d. Sifat Distributif
$\begin{array}{l}
A \cap \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)\\
A \cup \left( {B \cap C} \right) = \left( {A \cup B} \right) \cap \left( {A \cup C} \right)
\end{array}$
e. Sifat Komplemen
$\begin{array}{l}
A{\rm{ }} \cap {\rm{ }}{A^c} = {\rm{ }}\emptyset \\
A{\rm{ }} \cup {\rm{ }}{A^c}\; = {\rm{ }}S\\
{\left( {{A^c}\;} \right)^c}\; = {\rm{ }}A\\
{\emptyset ^c}\; = {\rm{ }}S\\
{S^c}\; = {\rm{ }}\emptyset
\end{array}$
6. OPERASI CAMPURAN
>Contoh Soal:
Diketahui himpunan-himpunan sebagai berikut:
$\begin{array}{l}
S = \left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} \right\}\\
A = \left\{ {2,3,5} \right\}\\
B = \left\{ {3,5,7} \right\}\\
C = \left\{ {5,7,9} \right\}
\end{array}$
Tentukan hasil operasi berikut:
$\begin{array}{l}
a.A \cap B \cap C\\
b.A \cup B \cup C\\
c.A \cap \left( {B \cup C} \right)\\
d.{\left( {A \cap B \cap C} \right)^C}\\
e.{A^C} \cap {B^C} \cap {C^C}
\end{array}$
Jawab:
$\begin{array}{l}
S = \left\{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} \right\}\\
A = \left\{ {2,3,5} \right\}\\
B = \left\{ {3,5,7} \right\}\\
C = \left\{ {5,7,9} \right\}\\
a.A \cap B \cap C = \left\{ {2,3,5} \right\} \cap \left\{ {3,5,7} \right\} \cap \left\{ {5,7,9} \right\} = \left\{ 5 \right\}\\
b.A \cup B \cup C = \left\{ {2,3,5} \right\} \cup \left\{ {3,5,7} \right\} \cup \left\{ {5,7,9} \right\} = \left\{ {2,3,5,7,9} \right\}\\
c.A \cap \left( {B \cup C} \right) = \left\{ {2,3,5} \right\} \cap \left( {\left\{ {3,5,7} \right\} \cup \left\{ {5,7,9} \right\}} \right)\\
= \left\{ {2,3,5} \right\} \cap \left\{ {3,5,7,9} \right\} = \left\{ {3,5} \right\}\\
d.{\left( {A \cap B \cap C} \right)^C} = {\left\{ 5 \right\}^C} = \left\{ {1,2,3,4,6,7,8,9,10} \right\}\\
e.{A^C} \cap {B^C} \cap {C^C} = {\left\{ {2,3,5} \right\}^C} \cap {\left\{ {3,5,7} \right\}^C} \cap {\left\{ {5,7,9} \right\}^C}\\
= \left\{ {1,4,6,7,8,9,10} \right\} \cap \left\{ {1,2,4,6,8,9,10} \right\} \cap \left\{ {1,2,3,4,6,8,10} \right\}\\
= \left\{ {1,4,6,8,10} \right\}
\end{array}$
Demikian semoga bermanfaat dan terima kasih
Anisa Fitriyani
ReplyDelete