Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC

Persamaan kuadrat memiliki akar-akar yang dapat dicari dengan tiga metode yaitu:

1. Pemfaktoran.
2. Melengkapkan kuadrat sempurna.
3. Dengan rumus ABC.

Untuk metode yang kedua yaitu Melengkapkan Kuadrat Sempurna sudah pernah saya bahas pada artikel sebelumnya, atau jika ingin membaca lagi bisa lihat di sini.

Metode yang ketiga yang digunakan untuk mencari akar persamaan kuadrat adalah dengan menggunakan rumus ABC. Metode ini secara umum paling mudah jika dibandingkan dengan metode yang lain. Dengan metode ini juga bisa untuk mencari akar persamaan yang hasilnya bukan bilangan bulat. bahkan bisa untuk mencari akar persamaan yang hasilnya adalah bilangan kompleks.

RUMUS ABC

Jika diketahui persamaan kuadrat $a{x^2} + bx + c = 0$ dengan $a \ne 0$, maka akar-akar dari persamaan tersebut dirumuskan sebagai berikut:

\[{x_{1.2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\]

Jika rumus tersebut dijabarkan menjadi ${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$ dan ${x_1} = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$.

CONTOH SOAL RUMUS ABC

CONTOH 1

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: ${x^2} + 5x + 4 = 0$ !

JAWAB:

Persamaan${x^2} + 5x + 4 = 0$

diketahui:

$\begin{array}{l} a = 1\\ b = 5\\ c = 4\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {{5^2} - 4.1.4} }}{{2.1}}\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {25 - 16} }}{2}\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt 9 }}{2}\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - 5 \pm 3}}{2}\\ {x_1} = \frac{{ - 5 + 3}}{2} = \frac{{ - 2}}{2} = - 1\\ atau\\ {x_2} = \frac{{ - 5 - 3}}{2} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4\\ \therefore HP = \left\{ { - 4, - 1} \right\} \end{array}$

CONTOH 2

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: $2{x^2} - 9x + 4 = 0$ !

JAWAB:

Persamaan $2{x^2} - 9x + 4 = 0$

diketahui:

$\begin{array}{l} a = 2\\ b = - 9\\ c = 4\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 9} \right)}^2} - 4.2.4} }}{{2.2}}\\ {x_{1.2}} = \frac{{9 \pm \sqrt {81 - 32} }}{4}\\ {x_{1.2}} = \frac{{9 \pm \sqrt {49} }}{4}\\ {x_{1.2}} = \frac{{9 \pm 7}}{4}\\ {x_1} = \frac{{9 + 7}}{4} = \frac{{16}}{4} = 4\\ atau\\ {x_2} = \frac{{9 - 7}}{4} = \frac{2}{2} = 1\\ \therefore HP = \left\{ {1,4} \right\} \end{array}$

CONTOH 3

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: ${x^2} - 9 = 0$!

JAWAB:

Persamaan ${x^2} - 9 = 0$

diketahui:

$\begin{array}{l} a = 1\\ b = 0\\ c = - 9\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - 0 \pm \sqrt {{0^2} - 4.1.\left( { - 9} \right)} }}{{2.1}}\\ {x_{1.2}} = \frac{{0 \pm \sqrt {0 + 36} }}{2}\\ {x_{1.2}} = \frac{{ \pm \sqrt {36} }}{2}\\ {x_{1.2}} = \frac{{ \pm 6}}{2}\\ {x_1} = \frac{6}{2} = 3\\ atau\\ {x_2} = \frac{{ - 6}}{2} = - 3\\ \therefore HP = \left\{ { - 3,3} \right\} \end{array}$

CONTOH 4 (Jika akar tidak bulat)

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: $ - 3{x^2} + 5x + 6 = 0$!

JAWAB:

Persamaan $ - 3{x^2} + 5x + 6 = 0$

diketahui:

$\begin{array}{l} a = - 3\\ b = 5\\ c = 6\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {{5^2} - 4.\left( { - 3} \right).6} }}{{2.\left( { - 3} \right)}}\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {25 + 72} }}{{ - 6}}\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - 5 \pm \sqrt {97} }}{{ - 6}}\\ {x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {97} }}{{ - 6}} = \frac{5}{6} - \frac{{\sqrt {97} }}{6}\\ atau\\ {x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {97} }}{{ - 6}} = \frac{5}{6} + \frac{{\sqrt {97} }}{6}\\ \therefore HP = \left\{ {\frac{5}{6} - \frac{{\sqrt {97} }}{6},\frac{5}{6} + \frac{{\sqrt {97} }}{6}} \right\} \end{array}$

CONTOH 5 (Jika tidak punya akar/akarnya bilangan kompleks)

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: ${x^2} + 3x + 4 = 0$!

JAWAB:

Persamaan $ - 3{x^2} + 5x + 6 = 0$

diketahui:

$\begin{array}{l} a = 1\\ b = 3\\ c = 4\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {{3^2} - 4.1.4} }}{{2.1}}\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {9 - 16} }}{2}\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt { - 7} }}{2}\\ {x_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt { - 7} }}{2} = - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt { - 7} }}{2}\\ = - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 7 }}{2}i\\ atau\\ {x_2} = \frac{{ - 3 - \sqrt { - 7} }}{2} = - \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt { - 7} }}{2}\\ = - \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 7 }}{2}i\\ \therefore HP = \left\{ { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 7 }}{2}i, - \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 7 }}{2}i} \right\} \end{array}$

Demikian artikel tentang penentuan akar persamaan kuadrat dengan rumus ABC. Kesimpulannya adalah sebelum kita menggunakan rumus ABC, harus menentukan dulu nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat tersebut. Dan perlu diingat juga bahwa akar dari persamaan kuadrat ada beberapa kemungkinan yaitu

1. memiliki 2 akar yang berbeda
2. hanya memiliki satu akar saja
3. tidak memiliki akar/atau akarnya bilangan kompleks

Terkait dengan bilangan kompleks akan dibahas pada tingkat SMA.

Terima kasih

nurhamim86 A Mathematics Teacher who also likes the IT world.

Share