Menentukan Himpunan Penyelesaian PLSV

Prinsip Penyelesaian PLSV

xyz.my.id - Untuk menentukan atau mencari himpunan penyelesaian (HP) dari suatu Persamaan Linear Satu Variabel dapat menggunakan prinsip persamaan yang ekuivalen sebagai berikut:

1. Suatu Persamaan Linear Satu Variabel akan tetap ekuivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan/suku yang sama
2. Suatu Persamaan Linear Satu Variabel akan tetap ekuivalen jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan/suku yang sama

Menentukan Himpunan Penyelesaian PLSV

Cara pertama yang dapat kita lakukan adalah dengan menggunakan prinsip persamaan ekuivalen di atas. Persamaan yang akan kita cari Himpunan Penyelesaiannya dibagi menjadi dua ruas. Ruas kanan untuk suku yang ada di kanan tanda sama dengan (=) dan ruas kiri untuk suku yang ada di kiri tanda sama dengan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 1

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) berikut ini!

1. $2x - 4 = 0$
2. $3x + 4 = 11$
3. $x - 5 = 3x + 2$
4. $3\left( {x + 4} \right) = 2\left( {2 - 3x} \right)$
5. $\frac{{x - 3}}{4} = \frac{{2x + 1}}{3}$

Jawab:(1)

1. Soal $a$
$\begin{array}{l} 2x - 4 &= 0\\ \Leftrightarrow 2x - 4 + 4 &= 0 + 4\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{ditambah}&4 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 2x &= 4\\ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{2} &= \frac{4}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dibagi}&2 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= 2\\ \therefore HP &= \left\{ 2 \right\} \end{array}$


2. Soal $b$
$\begin{array}{l} 3x + 4 &= 11\\ \Leftrightarrow 3x + 4 - 4 &= 11 - 4\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dikurangi}&4 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 3x &= 8\\ \Leftrightarrow \frac{{3x}}{3} &= \frac{8}{3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dibagi}&3 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}\\ \therefore HP &= \left\{ {2\frac{2}{3}} \right\} \end{array}$


3. Soal $c$
$\begin{array}{l} x - 5 &= 3x + 2\\ \Leftrightarrow x - 5 + 5 &= 3x + 2 + 5\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{ditambah}&5 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= 3x + 7\\ \Leftrightarrow x - 3x &= 3x + 7 - 3x\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dikurangi}&{3x} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow - 2x &= 7\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2x}}{{ - 2}} &= \frac{7}{{ - 2}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dibagi}&{ - 2} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= - \frac{7}{2} = - 3\frac{1}{2}\\ \therefore HP &= \left\{ { - 3\frac{1}{2}} \right\} \end{array}$


4. Soal $d$
$\begin{array}{l} 3\left( {x + 4} \right) &= 2\left( {2 - 3x} \right)\\ \Leftrightarrow 3x + 12 &= 4 - 6x\left( {diuraikan} \right)\\ \Leftrightarrow 3x + 12 + 6x &= 4 - 6x + 6x\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{ditambah}&{6x} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 9x + 12 &= 4\\ \Leftrightarrow 9x + 12 - 12 &= 4 - 12\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dikurangi}&{12} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 9x &= - 8\\ \Leftrightarrow \frac{{9x}}{9} &= \frac{{ - 8}}{9}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dibagi}&9 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= - \frac{8}{9}\\ \therefore HP &= \left\{ { - \frac{8}{9}} \right\} \end{array}$


5. Soal $e$
$\begin{array}{l} \frac{{x - 3}}{4} &= \frac{{2x + 1}}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{4} &= \frac{{2x + 1}}{3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dikali}&{KPK}&4&{dan}&3 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 12\left( {\frac{{x - 3}}{4}} \right) &= 12\left( {\frac{{2x + 1}}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - 3} \right) &= 4\left( {2x + 1} \right)\left( {diuraikan} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - 9 &= 8x + 4\\ \Leftrightarrow 3x - 9 + 9 &= 8x + 4 + 9\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{ditambah}&9 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 3x &= 8x + 13\\ \Leftrightarrow 3x - 8x &= 8x + 13 - 8x\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dikurangi}&{8x} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow - 5x &= 13\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 5x}}{{ - 5}} &= \frac{{13}}{{ - 5}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dibagi}&{ - 5} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= - \frac{{13}}{5} = - 2\frac{3}{5}\\ \therefore HP &= \left\{ { - 2\frac{3}{5}} \right\} \end{array}$

Menentukan Himpunan Penyelesaian PLSV dengan Perpindahan Ruas

Cara kedua ini dilakukan dengan memindahkan suku-suku dari ruas kanan ke ruas kiri atau sebaliknya. Setiap kali perpindahan ruas maka tanda harus diubah, jika positif menjadi negatif dan sebaliknya. Usahakan untuk suku yang mengandung variabel semua dipindahkan ke ruas kiri, sedangkan konstanta dipindahkan ke ruas kanan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 2

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) berikut ini!

1. $2x + 6 = 0$
2. $3x + 4 = 1$
3. $x - 5 = 2x + 3$
4. $2\left( {x + 4} \right) = 3\left( {2 - 3x} \right)$
5. $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{2x + 1}}{3}$

Jawab:(2)

1. Soal $a$
$\begin{array}{l} 2x + 6 &= 0\\ \Leftrightarrow 2x &= 0 - 6\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&{pindah}&{ruas}&{menjadi}&{ - 6} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 2x &= - 6\\ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{2} &= \frac{{ - 6}}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dibagi}&2 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= - 3\\ \therefore HP &= \left\{ { - 3} \right\} \end{array}$


2. Soal $b$
$\begin{array}{l} 3x + 4 &= 1\\ \Leftrightarrow 3x &= 1 - 4\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{pindah}&{ruas}&{menjadi}&{ - 4} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 3x &= - 3\\ \Leftrightarrow \frac{{3x}}{3} &= \frac{{ - 3}}{3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dibagi}&3 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= - 1\\ \therefore HP &= \left\{ { - 1} \right\} \end{array}$


3. Soal $c$
$\begin{array}{l} x - 5 &= 2x + 3\\ \Leftrightarrow x &= 2x + 3 + 5\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}&{pindah}&{ruas}&{menjadi}&5 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= 2x + 8\\ \Leftrightarrow x - 2x &= 8\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2x}&{pindah}&{ruas}&{menjadi}&{ - 2x} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow - x &= 8\\ \Leftrightarrow \frac{{ - x}}{{ - 1}} &= \frac{8}{{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dibagi}&{ - 1} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= - 8\\ \therefore HP &= \left\{ { - 8} \right\} \end{array}$


4. Soal $d$
$\begin{array}{l} 2\left( {x + 4} \right) &= 3\left( {2 - 3x} \right)\\ \Leftrightarrow 2x + 8 &= 6 - 9x\left( {diuraikan} \right)\\ \Leftrightarrow 2x + 8 + 9x &= 6\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 9x}&{pindah}&{ruas}&{menjadi}&{9x} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 11x + 8 &= 6\\ \Leftrightarrow 11x &= 6 - 8\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8&{pindah}&{ruas}&{menjadi}&{ - 8} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 11x &= - 2\\ \Leftrightarrow \frac{{11x}}{{11}} &= \frac{{ - 2}}{{11}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dibagi}&{11} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= - \frac{2}{{11}}\\ \therefore HP &= \left\{ { - \frac{2}{{11}}} \right\} \end{array}$


5. Soal $e$
$\begin{array}{l} \frac{{x - 3}}{2} &= \frac{{2x + 1}}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{2} &= \frac{{2x + 1}}{3}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dikali}&{KPK}&2&{dan}&3 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 6\left( {\frac{{x - 3}}{2}} \right) &= 6\left( {\frac{{2x + 1}}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - 3} \right) &= 2\left( {2x + 1} \right)\left( {diuraikan} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - 9 &= 4x + 2\\ \Leftrightarrow 3x &= 4x + 2 + 9\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 9}&{pindah}&{ruas}&{menjadi}&9 \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow 3x &= 4x + 11\\ \Leftrightarrow 3x - 4x &= 11\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4x}&{pindah}&{ruas}&{menjadi}&{ - 4x} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow - x &= 11\\ \Leftrightarrow \frac{{ - x}}{{ - 1}} &= \frac{{11}}{{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {kedua}&{ruas}&{dibagi}&{ - 1} \end{array}} \right)\\ \Leftrightarrow x &= - 11\\ \therefore HP &= \left\{ { - 11} \right\} \end{array}$

Demikian semoga contoh-contoh di atas dapat dipahami. Terima kasih.