Bangun Ruang Sisi lengkung : Kerucut

Pengertian Kerucut

Dalam geometri, kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran. Kerucut memiliki 2 sisi, 1 rusuk, dan 1 titik sudut. Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang miring yang disebut selimut kerucut. Kerucut adalah bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai limas segi-n beraturan yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Menurut kamus besar bahasa Indonesia, kerucut berarti gulungan meruncing dari kertas atau daun atau kelopak bamu untuk tempat kacang dan sebagainya. Atau pengertian lain menurut sumber yang sama, bahwa kerucut adalah benda atau ruang yang beralas bundar dan merunjung sampai ke satu titik.

Unsur-Unsur Kerucut

Berdasarkan gambar di atas, kerucut memiliki beberapa unsur yaitu:

1. Sisi/Bidang Alas, yaitu sisi kerucut yang berupa lingkaran.
2. jari-jari alas, yaitu garis $OA$ atau $OB$. Dilambangkan dengan $r$.
3. Diameter alas, yaitu garis $AB$. Dilambangkan dengan $d$.
4. Tinggi kerucut, yaitu garis $CO$. Garis yang menghubungkan titik puncak dengan pertengahan alas.
5. Titik puncak, yaitu titik $C$.
6. Garis pelukis $(s)$, yaitu garis $CA$, $CB$, $CD$. Yaitu garis yang menghubungkan titik puncak dengan bagian keliling alas.

Karena antara tinggi kerucut $(t)$, jari-jari alas $(r)$, dan garis pelukis $(s)$ membentuk segitiga siku-siku, maka berlaku rumus berikut:

$\boxed{{s^2} = {r^2} + {t^2}}$

Jika dijabarkan menjadi sebagai berikut:

$\boxed{\begin{array}{l} s = \sqrt {{r^2} + {t^2}} \\ r = \sqrt {{s^2} - {t^2}} \\ t = \sqrt {{s^2} - {t^2}} \end{array}}$

Jaring-Jaring Kerucut

Jika bangun kerucut dibuka sesuai dengan sisi/bidangnya dan direbahkan pada bidang datar maka akan membentuk jaring-jaring kerucut. Perhatikan gambar berikut!

Luas Permukaan Kerucut

Sebuah kerucut dengan jari-jari alas $r$, garis pelukis $s$, dan tinggi $t$ dapat dihitung luas permukaannya sebagai berikut:

1. Luas Alas
$\boxed{{L_{alas}} = \pi {r^2}}$
2. Luas Selimut
$\boxed{{L_\text{selimut}} = \pi rs}$
3. Luas Permukaan
$\begin{array}{l} L = {L_{alas}} + {L_{se\lim ut}}\\ L = \pi {r^2} + \pi rs\\ \boxed{L = \pi r\left( {r + s} \right)} \end{array}$

Volume Kerucut

Sebuah kerucut dengan jari-jari alas $r$, garis pelukis $s$, dan tinggi $t$ dapat dihitung volumenya sebagai berikut:

$\boxed{V = \frac{1}{3}\pi {r^2}t}$

Contoh Soal

Contoh 1

Diketahui sebuah kerucut dengan jari-jari alas $3$ cm dan tinggi $4$ cm. Tentukan:

1. Luas alas
2. Luas selimut
3. Luas Permukaan
4. Volume kerucut

Jawab

1. Luas alas
$\begin{array}{l} {L_{alas}} &= \pi {r^2}\\ &= 3,14 \times 3 \times 3\\ &= 28,26 \end{array}$

Jadi, luas alas kerucut adalah $28,26c{m^2}$.

2. Luas selimut
$\begin{array}{l} s &= \sqrt {{r^2} + {t^2}} \\ &= \sqrt {{3^2} + {4^2}} \\ &= \sqrt {9 + 16} \\ &= \sqrt {25} \\ &= 5\\ {L_\text{selimut}} &= \pi rs\\ &= 3,14 \times 3 \times 5\\ &= 47,1 \end{array}$

Jadi, luas alas kerucut adalah $47,1c{m^2}$.

3. Luas Permukaan
$\begin{array}{l} {L_{permukaan}} &= {L_{alas}} + {L_\text{selimut}}\\ &= 28,26 + 47,1\\ &= 75,36 \end{array}$

Jadi, luas permukaan adalah $75,36c{m^2}$.

4. Volume kerucut
$\begin{array}{l} V &= \frac{1}{3}\pi {r^2}t\\ &= \frac{1}{{\bcancel{3}}} \times 3,14 \times \bcancel{3} \times 3 \times 4\\ &= 37,68 \end{array}$

Jadi, volume kerucut adalah $37,68c{m^3}$.

Contoh 2

Tentukan nilai yang ditanyakan dari gambar kerucut berikut!

Jawab

1. Soal 1
$\begin{array}{l} Diketahui:\\ V = 300\pi {m^3}\\ r = 10m\\ Ditanya:\\ t = ?\\ Jawab:\\ V = \frac{1}{3}\pi {r^2}t\\ \Leftrightarrow 300\bcancel{\pi } = \frac{1}{3}\bcancel{\pi } \times {10^2} \times t\\ \Leftrightarrow 300 = \frac{1}{3} \times 100t\\ \Leftrightarrow 900 = 100t\\ \Leftrightarrow t = \frac{{900}}{{100}}\\ \Leftrightarrow t = 9 \end{array}$

Jadi, tinggi kerucut adalah $9$ m.

2. Soal 2
$\begin{array}{l} Diketahui:\\ V = 120\pi {m^3}\\ t = 10m\\ Ditanya:\\ r = ?\\ Jawab:\\ V = \frac{1}{3}\pi {r^2}t\\ \Leftrightarrow 120\bcancel{\pi } = \frac{1}{3}\bcancel{\pi } \times {r^2} \times 10\\ \Leftrightarrow 120 = \frac{1}{3} \times 10{r^2}\\ \Leftrightarrow 360 = 10{r^2}\\ \Leftrightarrow {r^2} = \frac{{360}}{{10}}\\ \Leftrightarrow {r^2} = 36\\ \Leftrightarrow r = \sqrt {36} \\ \Leftrightarrow r = 6 \end{array}$

Jadi, jari-jari kerucut adalah $6$ m.

Contoh 3

Gambar berikut adalah bandul yang terbuat dari tembaga. Jika massa jenis tembaga $9gram/c{m^3}$, berapa berat bandul tersebut?

Jawab

$\begin{array}{l} Diketahui:\\ \text{massa jenis} = 9gram/c{m^3}\\ \pi = \frac{{22}}{7}\\ {t_{tabung}} = 15cm\\ {t_{kerucut}} = 10cm\\ {r_{tabung}} = {r_{kerucut}} = 7cm\\ V &= {V_{tabung}} + {V_{kerucut}}\\ &= \pi {r^2}t + \frac{1}{3}\pi {r^2}t\\ &= \frac{{22}}{{\bcancel{7}}} \times \bcancel{7} \times 7 \times 15 + \frac{1}{3} \times \frac{{22}}{{\bcancel{7}}} \times \bcancel{7} \times 7 \times 10\\ &= 22 \times 7 \times 15 + \frac{1}{3} \times 22 \times 7 \times 10\\ &= 2.310 + 513\frac{1}{3}\\ &= 2.823\frac{1}{3} \end{array}$

Jadi, volume bandul adalah $2.823\frac{1}{3}c{m^3}$.

Berat bandul dapat dihitung sebagai berikut:

$\begin{array}{l} \text{Berat bandul} = {V_{bandul}} \times \text{massa jenis}\\ = 2.823\frac{1}{3}c{m^3} \times 9gram/c{m^3}\\ = 25.410gram\\ = 25,41kg \end{array}$

Berat bandul tersebut adalah $25.410gram$ atau $25,41kg$.