Operasi pada Bilangan Pecahan

Pengertian Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$ dengan $a$, $b$ bilangan bulat dan $b \ne 0$. Bilangan $a$ disebut sebagai pembilang dan $b$ disebut sebagai penyebut.

Bentuk-Bentuk Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk yaitu pecahan biasa, pecahan desimal, pecahan campuran, persen, dan permil.

Pecahan Biasa

Pecahan biasa dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$ dengan $a$, $b$ bilangan bulat dan $b \ne 0$. Jika $a < b$ disebut pecahan murni, sedangkan jika $a > b$ disebut sebagai pecahan tidak murni.

Pecahan Campuran

Pecahan campuran adalah pecahan yang terdiri dari dua bagian yaitu bilangan bulat dan bilangan pecahan. Bentuk umumnya adalah $a\frac{b}{c}$ dengan $c \ne 0$. Bilangan pecahan dapat diubah ke bentuk pecahan tidak murni atau sebaliknya.

Contoh

• $2\frac{3}{4} = \frac{{2 \times 4 + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}$
• $3\frac{1}{6} = \frac{{3 \times 6 + 1}}{6} = \frac{{19}}{6}$
• $\frac{{12}}{5} = 2\frac{2}{5}$
• $\frac{{10}}{3} = 3\frac{1}{3}$

Pecahan Desimal

Pada pecahan desimal menggunakan tanda koma untuk menandai bilangan pecahan. Angka pertama dibelakang koma bernilai $\frac{1}{{10}}$, angka kedua di belakang koma bernilai $\frac{1}{{100}}$, angka ketiga di belakang koma bernilai $\frac{1}{{1000}}$, dan seterusnya.

Contoh

• $\frac{1}{2} = \frac{{1 \times 5}}{{2 \times 5}} = \frac{5}{{10}} = 0,5$
• $\frac{3}{8} = \frac{{3 \times 125}}{{8 \times 125}} = \frac{{375}}{{1000}} = 0,375$
• $0,4 = \frac{4}{{10}} = \frac{{4 \div 2}}{{10 \div 2}} = \frac{2}{5}$
• $0,75 = \frac{{75}}{{100}} = \frac{{75 \div 25}}{{100 \div 25}} = \frac{3}{4}$

Persen dan Permil

Pengertian persen adalah suatu angka atau perbandingan (rasio) untuk menyatakan pecahan dari seratus yang ditunjukkan dengan simbol $\% $. Dengan kata lain, persentase adalah bagian dari keseluruhan yang dinyatakan dengan per seratus. Sedangkan permil adalah suatu angka atau perbandingan (rasio) untuk menyatakan pecahan dari seribu yang ditunjukkan dengan simbol $‰$.

Contoh

$\large{\begin{array}{l} 5\% = \frac{5}{{100}} = \frac{1}{{20}}\\ 3,5\% = \frac{{3,5}}{{100}} = \frac{{3,5 \times 2}}{{100 \times 2}} = \frac{7}{{200}}\\ \frac{2}{5}\% = \frac{{\frac{2}{5}}}{{100}} = \frac{2}{{5 \times 100}} = \frac{2}{{500}} = \frac{1}{{250}}\\ 10 ‰ = \frac{{10}}{{1.000}} = \frac{1}{{100}}\\ 4,5 ‰ = \frac{{4,5}}{{1.000}} = \frac{{4,5 \times 2}}{{1.000 \times 2}} = \frac{9}{{2.000}}\\ \frac{5}{8} ‰ = \frac{{\frac{5}{8}}}{{1.000}} = \frac{5}{{8 \times 1.000}} = \frac{5}{{8.000}} = \frac{1}{{1.600}} \end{array}}$

Operasi pada Bilangan Pecahan

Penjumlahan dan Pengurangan

Pada penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan harus memperhatikan penyebut dari bilangan pecahan yang akan dioperasikan. Jika penyebut sama maka tinggal dijumlahkan atau dikurangkan pada bagian pembilang, namun jika penyebut berbeda maka perlu untuk menyamakan penyebut atau bisa dengan menggunakan rumus di bawah ini. Pada penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan dapat menggunakan rumus berikut:

$\large{\begin{array}{l} \boxed{\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{{a \pm c}}{b}}\\ \boxed{\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{{\left( {a \times d} \right) \pm \left( {b \times c} \right)}}{{\left( {b \times d} \right)}}} \end{array}}$

Contoh

$\large{\begin{array}{l} a.\frac{3}{5} + \frac{1}{5} - \frac{2}{5} = \frac{{3 + 1 - 2}}{5} = \frac{2}{5}\\ b.\frac{2}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{6}{{12}} + \frac{4}{{12}} - \frac{2}{{12}} = \frac{{6 + 4 - 2}}{{12}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\\ c.\frac{2}{7} + \frac{3}{4} = \frac{{2 \times 4 + 7 \times 3}}{{7 \times 4}} = \frac{{8 + 21}}{{28}} = \frac{{29}}{{28}} = 1\frac{1}{{28}} \end{array}}$

Perkalian

Rumus yang berlaku pada perkalian bilangan pecahan adalah sebagai berikut:

$\boxed{\large{\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{{a \times c}}{{b \times d}} = \frac{{ac}}{{bd}}}}$

Contoh

$\begin{array}{l} a.\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{{2 \times 4}}{{3 \times 5}} = \frac{8}{{15}}\\ b.2\frac{2}{5} \times 1\frac{1}{3} = \frac{{12}}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{{12 \times 4}}{{5 \times 3}} = \frac{{48}}{{15}} = 3\frac{3}{{15}} = 3\frac{1}{5}\\ c.5 \times \frac{3}{4} = \frac{{5 \times 3}}{4} = \frac{{15}}{4} = 3\frac{3}{4} \end{array}$

Pembagian

Rumus yang berlaku pada pembagian bilangan pecahan adalah sebagai berikut:

$\boxed{\large{\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{{a \times d}}{{b \times c}} = \frac{{ad}}{{bc}}}}$

Contoh

$\begin{array}{l} a.\frac{2}{7} \div \frac{3}{5} = \frac{{2 \times 5}}{{7 \times 3}} = \frac{{10}}{{21}}\\ b.3\frac{1}{2} \div 2\frac{3}{4} = \frac{7}{2} \div \frac{{11}}{4} = \frac{{7 \times 4}}{{2 \times 11}} = \frac{{28}}{{22}} = 1\frac{6}{{22}} = 1\frac{3}{{11}}\\ c.3 \div \frac{3}{4} = \frac{3}{1} \div \frac{3}{4} = \frac{{3 \times 4}}{{1 \times 3}} = \frac{{12}}{3} = 4 \end{array}$

Perpangkatan

Rumus yang berlaku pada perpangkatan bilangan pecahan adalah sebagai berikut:

$\boxed{\large{{\left( {\frac{a}{b}} \right)^n} = \frac{{{a^n}}}{{{b^n}}}}}$

Contoh

$\begin{array}{l} a.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{{{2^3}}}{{{3^3}}} = \frac{8}{{27}}\\ b.{\left( {1\frac{1}{4}} \right)^2} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{{5^2}}}{{{4^2}}} = \frac{{25}}{{16}} = 1\frac{9}{{16}} \end{array}$

Demikian pembahasan dan contoh mengenai operasi pada bilangan pecahan. Semoga bermanfaat