Integral Tertentu

Luas di Bawah Kurva dan Teorema Dasar Integral Kalkulus

Perhatikan kurva $y = f\left( x \right)$ pada gambar berikut:

Luas daerah yang dibatasi kurva $y = f\left( x \right)$, Sumbu $X$, garis $x=a$, dan garis $x=x$ atau luas daerah $AA'P'P$ ditentukan oleh:

\[L\left( x \right) = \int\limits_a^x {f\left( x \right)} dx\]

Sekarang misalkan $x$ berubah menjadi $\left( {x + \Delta x} \right)$, maka luas daerh yang baru $\left( {AA'Q'Q} \right)$ berubah menjadi $L\left( {x + \Delta x} \right)$, sehingga pertambahan luas daerah $\left( {PP'Q'Q} \right)$ ditentukan oleh $L\left( {x + \Delta x} \right) - L\left( x \right)$. Dengan melihat gambar di atas diperoleh hubungan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} \text{luas PP'Q'R} < \text{luas PP'Q'Q} < \text{luas SP'Q'Q}\\ \Leftrightarrow f\left( x \right).\Delta x < L\left( {x + \Delta x} \right) - L\left( x \right) < f\left( {x + \Delta x} \right).\Delta x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) < \frac{{L\left( {x + \Delta x} \right) - L\left( x \right)}}{{\Delta x}} < f\left( {x + \Delta x} \right) \end{array}$

Untuk ${\Delta x}$ mendekati $0$, diperoleh:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) \le \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{L\left( {x + \Delta x} \right) - L\left( x \right)}}{{\Delta x}} \le \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} f\left( {x + \Delta x} \right)\\ \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{L\left( {x + \Delta x} \right) - L\left( x \right)}}{{\Delta x}} = f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{dL\left( x \right)}}{{dx}} = f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow dL\left( x \right) = f\left( x \right)dx \end{array}$

Dengan menggunakan operasi integral pada masing-masing ruas persamaan di atas, diperoleh:

$\begin{array}{l} \int {dL\left( x \right)} = \int\limits_a^x {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow L\left( x \right) = \int\limits_a^x {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C \end{array}$

dengan $F\left( x \right)$ adalah anti diferensial dari ${f\left( x \right)}$ yang bersifat $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Dari hubungan $L\left( x \right) = \int\limits_a^x {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C$ dapat ditetapkan beberapa hal sebagai berikut:

• Untuk $x=a$ diperoleh:
$\begin{array}{l} L\left( a \right) = \int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = F\left( a \right) + C = 0\\ \Leftrightarrow C = - F\left( a \right) \end{array}$

Sehingga $L\left( x \right)$ dapat ditulis menjadi:

$L\left( x \right) = F\left( x \right) - F\left( a \right) = \int\limits_a^x {f\left( x \right)dx} $
• Untuk $x=b$ diperoleh:
$L\left( b \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

Berdasarkan persamaan di atas diperoleh hubungan $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$. Hubungan ini dikenal sebagai Teorema Dasar Integral Kalkulus.

Teorema Dasar Integral Kalkulus

Misalkan kurva ${f\left( x \right)}$ kontinu dalam interval tertutup $\left[ {a,b} \right]$. Luas daerah $L$ yang dibatasi oleh kurva $y = f\left( x \right)$, sumbu $X$, garis $x=a$, dan garis $x=b$ ditentukan dengan rumus:

\[L = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\]

dengan $F\left( x \right)$ adalah anti diferensial dari ${f\left( x \right)}$ yang bersifat $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Penulisan $F\left( b \right) - F\left( a \right)$ dapat diringkas dengan menggunakan notasi khusus $\left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b$, sehingga Teorema Dasar Integral Kalkulus dapat ditulis sebagai berikut:

\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\]

Sifat-Sifat Integral Tertentu

Misalkan $f\left( x \right)$ dan $g\left( x \right)$ masing-masing adalah fungsi yang kontinu dan terdefinisi pada interval tertutup $\left[ {a,b} \right]$, maka sifat-sifat umum integral tertentu dapat disajikan dalam bentuk rangkuman berikut:

1. $\int\limits_a^a {f\left( x \right)} dx = 0$
2. $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = - } \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $
3. $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx = k} \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $
4. $\int\limits_a^b {\left\{ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right\}} dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx$
5. $\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx = } } \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx,\left( {a < c < b} \right)} $
6. Jika $f\left( x \right) \ge 0$ pada interval $a \le x \le b$, maka $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0} $.
7. Jika $f\left( x \right) \le 0$ pada interval $a \le x \le b$, maka $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \le 0} $.

Contoh Soal

Tentukan hasil integral tertentu berikut:

1. $\int\limits_1^2 {4dx} $
2. $\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)} dx$
3. $\int\limits_1^4 {\sqrt x } dx$
4. $\int\limits_0^\pi {\sin xdx} $
5. $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{x^2} - \cos x} \right)dx} $

Jawab

1. $\int\limits_1^2 {4dx} = \left[ {4x} \right]_1^2 = \left( {4.2} \right) - \left( {4.1} \right) = 8 - 4 = 4$
$\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)} dx = \left[ {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 4x} \right]_0^1\\ = \left( {\frac{1}{3}{1^3} - \frac{3}{2}{1^2} + 4.1} \right) - \left( {\frac{1}{3}{0^3} - \frac{3}{2}{0^2} + 4.0} \right)\\ = \left( {\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4} \right) - \left( 0 \right)\\ = \frac{2}{6} - \frac{9}{6} + \frac{{24}}{6}\\ = \frac{{17}}{6} = 2\frac{5}{6} \end{array}$
$\begin{array}{l} \int\limits_1^4 {\sqrt x } dx = \int\limits_1^4 {{x^{\frac{1}{2}}}} dx\\ = \left[ {\frac{1}{{\frac{1}{2} + 1}}{x^{\frac{1}{2} + 1}}} \right]_1^4\\ = \left[ {\frac{1}{{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}} \right]_1^4\\ = \left[ {\frac{2}{3}x\sqrt x } \right]_1^4\\ = \left( {\frac{2}{3}.4\sqrt 4 } \right) - \left( {\frac{2}{3}.1\sqrt 1 } \right)\\ = \left( {\frac{2}{3}.8} \right) - \left( {\frac{2}{3}.1} \right)\\ = \frac{{16}}{3} - \frac{2}{3}\\ = \frac{{14}}{3}\\ = 4\frac{2}{3} \end{array}$
$\begin{array}{l} \int\limits_0^\pi {\sin xdx} = \left[ { - \cos x} \right]_0^\pi \\ = \left( { - \cos \pi } \right) - \left( { - \cos 0} \right)\\ = \left( 1 \right) - \left( { - 1} \right)\\ = 2 \end{array}$
$\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{x^2} - \cos x} \right)dx} = \left[ {\frac{1}{3}{x^3} - \sin x} \right]_0^{\frac{\pi }{2}}\\ = \left( {\frac{1}{3}.{{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^3} - \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right) - \left( {\frac{1}{3}{{.0}^3} - \sin 0} \right)\\ = \left( {\frac{1}{3}.\frac{{{\pi ^3}}}{8} - 1} \right) - \left( {\frac{1}{3}.0 - 0} \right)\\ = \frac{{{\pi ^3}}}{{24}} - 1\\ = \frac{{{\pi ^3} - 24}}{{24}} \end{array}$

Demikian pembahasan tentang integral tertentu dan contoh-contohnya. Semoga bermanfaat