Integral Tak Tentu

Pengertian Integral

Operasi Pendiferensialan adalah proses menentukan turunan dari suatu fungsi $F'\left( x \right)$ jika fungsi $F\left( x \right)$ diketahui. Proses penentuan fungsi $F\left( x \right)$ apabila $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ diketahui merupakan invers operasi Pendiferensialan dan biasa disebut sebagai Operasi Pengintegralan.

Untuk memahami hubungan antara operasi pengintegralan dan operasi pendiferensialan dapat dilihat pada contoh di tabel berikut:

$F\left( x \right)$	$F'\left( x \right) = f\left( x \right)$
$F\left( x \right) = x$	$F'\left( x \right) = 1$
$F\left( x \right) = x + 1$	$F'\left( x \right) = 1$
$F\left( x \right) = x + 5$	$F'\left( x \right) = 1$
$F\left( x \right) = x - 3$	$F'\left( x \right) = 1$

Perhatikan bahwa masing-masing fungsi $F\left( x \right)$ dari tabel di atas hanya berbeda pada konstantanya saja, sedangkan suku yang lain tetap. Oleh karena itu, himpunan semua fungsi dari hasil operasi pengintegralan $F'\left( x \right) = f\left( x \right) = 1$ dapat ditulis sebagai $F\left( x \right) = x + C$ dengan $C$ adalah sebuah konstanta dan $C \in \Re $.

Berdasarkan deskripsi di atas, operasi pengintegralan dapat didefinisikan sebagai berikut:

Misalkan $F\left( x \right)$ adalah suatu fungsi umum yang dapat didiferensialkan sehingga $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$. Dalam hal demikian, maka $F\left( x \right)$ dinamakan sebagai himpunan Anti-diferensial (Anti Turunan) atau himpunan pengintegralan dari fungsi $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Notasi Integral dan Pengertian Integral Tak Tentu

Pengintegralan fungsi $f\left( x \right)$ terhadap variabel $x$ yang ditulis dalam bentuk $\int {f\left( x \right)} dx$ dinamakan sebagai Integral Tak Tentu dari fungsi $f\left( x \right)$ terhadap $x$. Integral tak tentu dari fungsi $f\left( x \right)$ terhadap $x$ adalah suatu fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan sebagai berikut:

\[\boxed{\int {f\left( x \right)} dx = F\left( x \right) + C}\]

dengan:

• $F\left( x \right)$ dinamakan fungsi integral umum
• $f\left( x \right)$ dinamakan fungsi integran
• $C$ konstanta real yang disebut sebagai konstanta pengintegralan

Integral Tak Tentu dari Fungsi Aljabar

Rumus-rumus Integral Tak Tentu fungsi Aljabar

Misalkan $a$ konstanta real sembarang, $f\left( x \right)$ dan $g\left( x \right)$ masing-masing merupakan fungsi intergran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya, maka:

1. $\int {dx = x + C} $
2. $\int {adx = ax + C} $
3. $\int {\left\{ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right\}} dx = \int {f\left( x \right)} dx \pm \int {g\left( x \right)} dx$
4. $\int {{x^n}} dx = \frac{1}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + C$
5. $\int {a{x^n}} dx = \frac{a}{{n + 1}}{x^{n + 1}} + C$

Contoh

Tentukan integral-integral tak tentu berikut:

1. $\int {4xdx} $
2. $\int {2{x^3}dx} $
3. $\int {\frac{7}{{2{x^2}}}} dx$
4. $\int {\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)} dx$
5. $\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} - \frac{2}{{\sqrt[4]{{{x^3}}}}}} \right)} dx$

Jawab

1. $\int {4xdx} = \frac{4}{{1 + 1}}{x^{1 + 1}} + C = 2{x^2} + C$
2. $\int {2{x^3}dx} = \frac{2}{{3 + 1}}{x^{3 + 1}} + C = \frac{1}{2}{x^4} + C$
3. $\int {\frac{7}{{2{x^2}}}} dx = \int {\frac{7}{2}} {x^{ - 2}}dx = \frac{7}{{2\left( { - 2 + 1} \right)}}{x^{ - 2 + 1}} + C = \frac{7}{{ - 2}}{x^{ - 1}} + C = - \frac{7}{{2x}} + C$
4. $\int {\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)} dx = \int {{x^2}} dx - \int {3x} dx + \int {4dx = \frac{1}{{2 + 1}}} {x^{2 + 1}} - \frac{3}{{1 + 1}}{x^{1 + 1}} + 4x + C = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 4x + C$
5. $\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} - \frac{2}{{\sqrt[4]{{{x^3}}}}}} \right)} dx = \int {\left( {{x^{\frac{2}{3}}} - 2{x^{ - \frac{3}{4}}}} \right)} dx = \frac{1}{{\frac{2}{3} + 1}}{x^{\frac{2}{3} + 1}} - \frac{2}{{ - \frac{3}{4} + 1}}{x^{ - \frac{3}{4} + 1}} + C = \frac{1}{{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}}} + C = \frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} - 8\sqrt[4]{x} + C$

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

Rumus-rumus Integral Tak Tentu fungsi Trigonometri

Untuk menentukan aturan integral tak tentu pada fungsi-fungsi trigonometri, perlu diingat kembali turunan fungsi-fungsi trigonometri seperti pada tabel berikut:

$F\left( x \right)$	$F'\left( x \right) = f\left( x \right)$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$ - \sin x$
$\tan x$	${\sec ^2}x$
$\cot x$	$ - \cos e{c^2}x$
$\sec x$	$\tan x.\sec x$
$\cos ecx$	$ - \cot x.\cos ecx$

Dengan menggunakan aturan integral tak tentu $\int {f\left( x \right)} dx = F\left( x \right) + C$ yang memiliki sifat bahwa $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$, maka integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. $\int {\sin xdx = - \cos x + C} $
2. $\int {\cos xdx = \sin x + C} $
3. $\int {{{\sec }^2}xdx = \tan x + C} $
4. $\int {\cos e{c^2}xdx = - \cot x + C} $
5. $\int {\tan x.\sec xdx = \sec x + C} $
6. $\int {\cot x.\cos ecxdx = - \cos ecx + C} $
7. $\int {\sin \left( {ax + b} \right)xdx = - \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C} $
8. $\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C} $
9. $\int {{{\sec }^2}\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\tan \left( {ax + b} \right) + C} $
10. $\int {\cos e{c^2}\left( {ax + b} \right)dx = - \frac{1}{a}\cot \left( {ax + b} \right) + C} $
11. $\int {\tan \left( {ax + b} \right).\sec \left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sec \left( {ax + b} \right) + C} $
12. $\int {\cot \left( {ax + b} \right).\cos ec\left( {ax + b} \right)dx = - \frac{1}{a}\cos ec\left( {ax + b} \right) + C} $

dimana $a$ dan $b$ masing-masing bilangan real dan $a \ne 0$.

Contoh

Tentukan integral-integral tak tentu berikut:

1. $\int {\left( {2x - \cos x} \right)} dx$
2. $\int {\left( {\sin 2x + \cos x} \right)} dx$
3. $\int {3{{\sec }^2}} xdx$
4. $\int {\left( {{{\tan }^2}x - 3} \right)} dx$
5. ${\int {\left( {\sin x + \cos x} \right)} ^2}dx$

Jawab

1. $\int {\left( {2x - \cos x} \right)} dx = \int {2xdx - \int {\cos xdx = \frac{2}{{1 + 1}}} } {x^2} - \sin x + C = {x^2} - \sin x + C$
2. $\int {\left( {\sin 2x + \cos x} \right)} dx = \int {\sin 2xdx + \int {\cos xdx = - \frac{1}{2}} } \cos 2x + \sin x + C$
3. $\int {5{{\sec }^2}} xdx = 5\int {{{\sec }^2}} xdx = 5.\tan x + C = 5\tan x + C$
4. $\int {\left( {{{\tan }^2}x - 3} \right)} dx = \int {\left( {\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) - 4} \right)} dx = \int {\left( {{{\sec }^2}x - 4} \right)} dx = \int {{{\sec }^2}} xdx - \int {4dx = \tan x - 4x + C} $
5. ${\int {\left( {\sin x + \cos x} \right)} ^2}dx = \int {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x} \right)} dx = \int {\left( {1 + \sin 2x} \right)} dx = \int {dx + \int {\sin 2xdx = x - \frac{1}{2}\cos 2x + C} } $

Demikian pembahasan mengenai integral tak tentu pada fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Semoga bermanfaat.