Limit Fungsi Trigonometri

Dalam beberapa kasus, penyelesaian limit fungsi trigonometri hampir sama dengan penyelesaian limit fungsi aljabar, misalnya dengan metode substitusi langsung atau dengan metode pemfaktoran. Rumus-rumus trigonometri dan teorema limit dapat membantu untuk menyelesaikan limit-limit fungsi trigonometri.

Metode Substitusi Langsung

Contoh

Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut ini.

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \sin x$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\cos 2x - 1} \right)$
3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)$

Jawab

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \sin x = \sin \frac{\pi }{2} = 1$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \sin x = 1$

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\cos 2x - 1} \right) &= \cos 2.0 - 1\\ &= \cos 0 - 1\\ &= 1 - 1\\ &= 0 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\cos 2x - 1} \right) = 0$

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) &= {\sin ^2}0 - {\cos ^2}0\\ &= {0^2} - {1^2}\\ &= - 1 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) = - 1$

Metode Pemfaktoran

Contoh

Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut ini.

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{{\sin x}}$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 2x}}{{\sin x}}$

Jawab

Dengan menggunakan metode substitusi langsung diperoleh:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{{\sin x}} = \frac{{\sin 2.0}}{{\sin 0}} = \frac{0}{0}$
• $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 2x}}{{\sin x}} = \frac{{1 - \cos 2.0}}{{\sin 0}} = \frac{{1 - 1}}{0} = \frac{0}{0}$

Dengan substitusi langsung diperoleh nilai $\frac{0}{0}$, yaitu bentuk tak tentu. Oleh karena itu, perlu dilakukan upaya lain yaitu sebagai berikut:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{{\sin x}} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\cancel{{\sin x}}\cos x}}{{\cancel{{\sin x}}}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2\cos x\\ &= 2\cos 0\\ &= 2.1\\ &= 2 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{{\sin x}} = 2$.

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 2x}}{{\sin x}} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)}}{{\sin x}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{\sin x}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2\sin x\\ &= 2\sin 0\\ &= 2.0\\ &= 0 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 2x}}{{\sin x}} = 0$.

Rumus-Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Limit fungsi trigonometri dapat pula diselesaikan dengan menggunakan rumus. Rumus-rumus limit fungsi trigonometri yang dimaksud adalah sebagai berikut:

\[\boxed{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sin x}} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\tan x}} = 1 \end{array}}\]

Rumus-rumus limit fungsi trigonometri di atas dapat diperluas. Misal $u$ adalah fungsi dari $x$ dan jika $x \to 0$ maka $u \to 0$, rumus-rumus tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

\[\boxed{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\sin u}}{u} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{u}{{\sin u}} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\tan u}}{u} = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{u}{{\tan u}} = 1 \end{array}}\]

Contoh

Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut ini.

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{{2x}}$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6x}}{{x + \sin 3x}}$

Jawab

1. Misal $u = 4x \to x = \frac{1}{4}u$. Jika $x \to 0$ maka $u \to 0$, sehingga
$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{{2x}} &= \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\sin u}}{{2\left( {\frac{1}{4}u} \right)}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\sin u}}{{\frac{1}{2}u}}\\ &= \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} 2\frac{{\sin u}}{u}\\ &= 2\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\sin u}}{u}\\ &= 2.1\\ &= 2 \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{{2x}} = 2$.

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6x}}{{x + \sin 3x}} &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\frac{{x + \sin 3x}}{{6x}}}}\\ &= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + \sin 3x}}{{6x}}}}\\ &= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{x}{{6x}} + \frac{{\sin 3x}}{{6x}}} \right)}}\\ &= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{6} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{2.3x}}}}\\ &= \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{6} + \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{3x}}}}\\ &= \frac{1}{{\frac{1}{6} + \frac{1}{2}.1}}\\ &= \frac{1}{{\frac{4}{6}}}\\ &= \frac{6}{4}\\ &= 1\frac{1}{2} \end{array}$

Jadi, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6x}}{{x + \sin 3x}} = 1\frac{1}{2}$.