Kombinasi

Pengertian Kombinasi

Misalkan dari tiga huruf $P$, $Q$, dan $R$ akan diambil dua huruf tanpa memperhatikan urutannya. Oleh karena urutan tidak diperhatikan, maka susunan $PQ$ = susunan $QP$, susunan $QR$ = susunan $RQ$, begitu pula susunan $PR$ = susunan $RP$. Dengan demikian, hanya terdapat 3 pilihan, yaitu susunan-susunan $PQ$, $QR$, dan $PR$. Pilihan yang dilakukan dengan cara seperti itu disebut kombinasi 2 unsur diambil dari 3 unsur yang tersedia. Jadi, kombinasi dapat didefinisikan sebagai berikut:

Definisi

Kombinasi $r$ unsur yang dimbil dari $n$ unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah suatu pilihan dari $r$ unsur tanpa memperhatikan urutannya $\left( {r \le n} \right)$.

Rumus Kombinasi

Banyak kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia dilambangkan dengan:

\[\large{\boxed{C_r^n}}\]

Untuk menentukan banyak kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut:

Banyak kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia ditentukan dengan aturan

\[\boxed{C_r^n = \frac{{n!}}{{r!\left( {n - r} \right)!}}}\]

Banyak kombinasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia dapat pula diartikan sebagai banyak cara memilih $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya.

Contoh-Contoh

1. Hitunglah kombinasi-kombinasi berikut ini
1. $C_2^6$
2. $C_7^{12}$
2. Tiga buah huruf diambil dari huruf P, R, O, D, U, K, S, dan I. Berapa banyak cara memilih keempat huruf itu jika urutan huruf tidak diperhatikan?
3. Hitunglah nilai $n$, jika $C_4^n = {n^2} - 2n$
4. Dari 12 orang yang terdiri dari 7 orang wanita dan 5 orang pria akan dibentuk sebuah delegasi yang beranggotakan 4 anak. Berapa banyak delegasi yang dapat dibentuk, jika disyaratkan.
1. setiap orang (dari 12 orang) mempunyai hak yang sama untuk dipilih sebagai anggota delegasi?
2. anggota delegasi terdiri atas 2 orang pria dan 2 orang wanita?

Jawab

$\begin{array}{l} C_2^6 &= \frac{{6!}}{{2!\left( {6 - 2} \right)!}}\\ &= \frac{{6!}}{{2!4!}}\\ &= \frac{{6 \times 5 \times \cancel{{4!}}}}{{\left( {2 \times 1} \right) \times \cancel{{4!}}}}\\ &= \frac{{6 \times 5}}{{2 \times 1}}\\ &= 15 \end{array}$
$\begin{array}{l} C_7^{12} &= \frac{{12!}}{{7!\left( {12 - 7} \right)!}}\\ &= \frac{{12!}}{{7!5!}}\\ &= \frac{{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times \cancel{{7!}}}}{{\cancel{{7!}} \times 5!}}\\ &= \frac{{\cancel{{12}} \times 11 \times \cancel{{10}} \times 9 \times 8}}{{\cancel{5} \times \cancel{4} \times \cancel{3} \times \cancel{2} \times 1}}\\ &= 11 \times 9 \times 8\\ &= 792 \end{array}$
2. Banyak unsur yang tersedia $n=8$, yaitu huruf P, R, O, D, U, K, S, dan I. Diambil 3 huruf $r=4$. Karena urutan tidak diperhatikan, maka banyak cara memilih merupakan kombinasi 4 unsur yang diambil dari 8 unsur tersedia.
$\begin{array}{l} C_4^8 &= \frac{{8!}}{{4!\left( {8 - 4} \right)!}}\\ &= \frac{{8!}}{{4!4!}}\\ &= \frac{{\cancel{8} \times 7 \times {{\cancel{6}}^2} \times 5 \times \cancel{{4!}}}}{{\cancel{4} \times \cancel{3} \times \cancel{2} \times 1 \times \cancel{{4!}}}}\\ &= 7 \times 2 \times 5\\ &= 70 \end{array}$

Jadi, banyak cara memilih 4 huruf dari huruf-huruf P, R, O, D, U, K, S, dan I seluruhnya ada $70$ macam.

$\begin{array}{l} C_4^n = {n^2} - 2n\\ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{4!\left( {n - 4} \right)!}} = {n^2} - 2n\\ \Leftrightarrow \frac{{\cancel{n} \times \left( {n - 1} \right) \times \cancel{{\left( {n - 2} \right)}} \times \left( {n - 3} \right) \times \cancel{{\left( {n - 4} \right)!}}}}{{4!\cancel{{\left( {n - 4} \right)!}}}} = \cancel{{n\left( {n - 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right)}}{{24}} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right) = 24\\ \Leftrightarrow {n^2} - 4n + 3 = 24\\ \Leftrightarrow {n^2} - 4n - 21 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {n - 7} \right)\left( {n + 3} \right) = 0\\ n = 7 \vee n = - 3 \end{array}$

Karena nilai $n$ harus positif, sehingga nilai $n$ yang memenuhi adalah $n=7$.

1. Memilih 4 orang dari 12 orang yang tersedia merupakan kombinasi 4 unsur yang diambil dari 12 unsur yang tersedia
$\begin{array}{l} C_4^{12} &= \frac{{12!}}{{4!\left( {12 - 4} \right)!}}\\ &= \frac{{12!}}{{4!8!}}\\ &= \frac{{\cancel{{12}} \times 11 \times {{\cancel{{10}}}^5} \times 9 \times \cancel{{8!}}}}{{\cancel{4} \times \cancel{3} \times \cancel{2} \times 1 \times \cancel{{8!}}}}\\ &= 11 \times 5 \times 9\\ &= 495 \end{array}$

Jadi, banyak delegasi yang dapat dibentuk jika setiap orang mempunyai hak yang sama untuk dipilih seluruhnya ada $495$.

• 2 orang pria dipilih dari 5 orang pria yang tersedia merupakan kombinasi 2 unsur yang diambil dari 5 unsur.
$\begin{array}{l} C_2^5 &= \frac{{5!}}{{2!\left( {5 - 2} \right)!}}\\ &= \frac{{5!}}{{2!3!}}\\ &= \frac{{5 \times {{\cancel{4}}^2} \times \cancel{{3!}}}}{{\cancel{2} \times 1 \times \cancel{{3!}}}}\\ &= 10 \end{array}$
• 2 orang wanita dipilih dari 7 orang wanita yang tersedia merupakan kombinasi 2 unsur yang diambil dari 7 unsur.
$\begin{array}{l} C_2^7 &= \frac{{7!}}{{2!\left( {7 - 2} \right)!}}\\ &= \frac{{7!}}{{2!5!}}\\ &= \frac{{7 \times {{\cancel{6}}^3} \times \cancel{{5!}}}}{{\cancel{2} \times 1 \times \cancel{{5!}}}}\\ &= 21 \end{array}$

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak delegasi yang terdiri atas 2 orang pria dan 2 orang wanita adalah:

$C_2^5 \times C_2^7 = 10 \times 21 = 210$

Jadi, banyak delegasi yang dapat dibentuk yang terdiri dari 2 orang pria dan 2 orang wanita seluruhnya ada $210$.