Permutasi

Faktorial dari Bilangan Asli

Faktorial dari bilangan asli didefinisikan sebagai berikut:

Definisi

Untuk setiap bilangan asli $n$, didefinisikan

\[\boxed{n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times \left( {n - 2} \right) \times \left( {n - 1} \right) \times n}\]

Lambang atau notasi $n!$ dibaca sebagai $n$ faktorial.

Didefinisikan pula bahwa:

\[\boxed{1! = 1\text{ dan }0! = 1}\]

Dengan menggunakan definisi di atas, faktorial suatu bilangan asli dapat ditentukan.

Contoh

$\begin{array}{l} 2! = 1 \times 2\\ 3! = 1 \times 2 \times 3\\ 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \end{array}$

Permutasi dari Unsur-Unsur yang Berbeda

Misalkan tiga buah huruf $A$, $B$, dan $C$ akan disusun suatu kata (tidak harus bermakna) yang terdiri dari tiga huruf dengan huruf-huruf tersebut tidak ada yang sama. Susunan yang dapat dibentuk adalah:

$ABC$	$ACB$	$BAC$
$BCA$	$CAB$	$CBA$

Banyak cara untuk membuat susunan seperti itu adalah $1 \times 2 \times 3 = 6$ cara. Susunan yang diperoleh diatas disebut permutasi 3 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia. Berdasarkan deskripsi tersebut, permutasi dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi

Permutasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah susunan dari $r$ unsur itu dalam suatu urutan $\left( {r \le n} \right)$

Banyak permutasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia dilambangkan dengan notasi:

\[\boxed{P_r^n}\]

Jika $\left( {r = n} \right)$ maka banyak permutasi $n$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia (biasa disingkat: permutasi $n$ unsur) dilambangkan dengan notasi:

\[\boxed{P_n^n}\]

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:

Banyak permutasi $n$ unsur ditentukan dengan aturan:

\[\boxed{P_n^n = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times \left( {n - 2} \right) \times \left( {n - 1} \right) \times n = n!}\]

Banyak permutasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang tersedia ditentukan dengan aturan:

\[\boxed{P_r^n = n \times \left( {n - 1} \right) \times \left( {n - 2} \right) \times \cdots \times \left( {n - r + 1} \right) \times n = \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)!}}}\]

Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur Sama

• Misalkan dari $n$ unsur yang tersedia terdapat $k$ unsur yang sama $\left( {k \le n} \right)$, maka banyak permutasi dari $n$ unsur itu ditentukan dengan aturan:
\[\boxed{P = \frac{{n!}}{{k!}}}\]
• Misalkan dari $n$ unsur yang tersedia terdapat $k$ unsur yang sama, $l$ unsur yang sama, dan $m$ unsur yang sama $\left( {k + l + m \le n} \right)$, maka banyak permutasi dari $n$ unsur itu ditentukan dengan aturan:
\[\boxed{P = \frac{{n!}}{{k!l!m!}}}\]

Permutasi Siklis

Misalkan tersedia $n$ unsur yang berbeda. Banyak permutasi siklis dari $n$ unsur itu ditentukan dengan aturan:

\[\boxed{{P_{siklis}} = \left( {n - 1} \right)!}\]

Latihan

1. Dalam satu kelas yang terdiri dari $32$ siswa akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak susunan yang mungkin?
2. Berapa banyak susunan huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf berikut ini secara berdampingan?
1. J, A, K, A, R, T, dan A
2. T, R, I, G, O, N, O, M, E, T, R, dan I
3. Hitunglah banyaknya susunan tempat duduk yang mungkin dari 6 orang yang duduk secara melingkar mengelilingi meja bundar!

Jawab

1. Banyak unsur $n=32$, banyak unsur yang diambil $r=3$. Banyak susunan yang mungkin adalah
$\begin{array}{l} P &= \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)!}}\\ &= \frac{{32!}}{{\left( {32 - 3} \right)!}}\\ &= \frac{{32!}}{{29!}}\\ &= \frac{{32 \times 31 \times 30 \times \cancel{{29!}}}}{{\cancel{{29!}}}}\\ &= 32 \times 31 \times 30\\ &= 29.760\text{ susunan} \end{array}$
1. Banyak unsur $n=7$, banyak unsur yang sama (huruf A) yaitu $k=3$.
$\begin{array}{l} P &= \frac{{n!}}{{k!}}\\ &= \frac{{7!}}{{3!}}\\ &= \frac{{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times \cancel{{3!}}}}{{\cancel{{3!}}}}\\ &= 7 \times 6 \times 5 \times 4\\ &= 840 \end{array}$

Jadi, banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf J, A, K, A, R, T, dan A ada $840$ macam.

2. Banyak unsur $n=12$, banyak unsur yang sama (huruf T) yaitu $k=2$, huruf R yaitu $l=2$, huruf I yaitu $m=2$, huruf O yaitu $p=2$.
$\begin{array}{l} P &= \frac{{n!}}{{k!l!m!p!}}\\ &= \frac{{12!}}{{2!2!2!2!}}\\ &= \frac{{479.001.600}}{{16}}\\ &= 29.937.600 \end{array}$

Jadi, banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf T, R, I, G, O, N, O, M, E, T, R, dan I ada $29.937.600$ macam.

3. Banyak unsur $n=6$, maka banyak permutasi siklis dari $6$ unsur itu seluruhnya ada
$\begin{array}{l} {P_{siklis}} &= \left( {n - 1} \right)!\\ &= \left( {6 - 1} \right)!\\ &= 5!\\ &= 120 \end{array}$

Jadi, banyak susunan tenpat duduk yang mungkin adalah $120$ susunan.