Persamaan Matriks

Penyelesaian Persamaan Matriks

Rumus

Misalkan $A$, $B$, dan $X$ adalah matriks-matriks persegi berordo $2$, dan $A$ matriks tak singuler yang mempunyai invers yaitu ${A^{ - 1}}$

• Penyelesaian Persamaan matriks $AX=B$ ditentukan oleh $X = {A^{ - 1}}B$.
• Penyelesaian Persamaan matriks $XA=B$ ditentukan oleh $X = B{A^{ - 1}}$.

Contoh

Jika $X$ adalah matriks persegi berordo $2$, tentukanlah $X$ pada tiap persamaan matriks berikut ini.

1. $X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2\\ 3&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&5\\ 3&2 \end{array}} \right)$
2. $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2\\ 3&1 \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&5\\ 3&2 \end{array}} \right)$
3. $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{\frac{1}{2}}\\ 1&{\frac{1}{2}} \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 0&6 \end{array}} \right)$

Jawab

Misal: $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2\\ 3&1 \end{array}} \right)$ dan $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&5\\ 3&2 \end{array}} \right)$ sehingga persamaan tersebut menjadi $XA=B$.

$\det A = \left( {1.\left( { - 1} \right) - 2.5} \right) = - 11$, sehingga ${A^{ - 1}} = \frac{1}{{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}\\ { - 3}&5 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 3&{ - 5} \end{array}} \right)$. Untuk persamaan matriks $XA=B$, penyelesaiannya adalah

$\begin{array}{l} X &= B{A^{ - 1}}\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&5\\ 3&2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 3&{ - 5} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + 15}&{ - 6 - 25}\\ { - 3 + 6}&{6 - 10} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {18}&{ - 31}\\ 3&{ - 4} \end{array}} \right) \end{array}$

Misal: $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&2\\ 3&1 \end{array}} \right)$ dan $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&5\\ 3&2 \end{array}} \right)$ sehingga persamaan tersebut menjadi $AX=B$.

$\det A = \left( {5.1 - 2.3} \right) = - 1$, sehingga ${A^{ - 1}} = \frac{1}{{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}\\ { - 3}&5 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 3&{ - 5} \end{array}} \right)$. Untuk persamaan matriks $AX=B$, penyelesaiannya adalah

$\begin{array}{l} X &= {A^{ - 1}}B\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 3&{ - 5} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&5\\ 3&2 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + 6}&{ - 5 + 4}\\ { - 9 - 15}&{15 - 10} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9&{ - 1}\\ { - 24}&5 \end{array}} \right) \end{array}$

Misal: $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{\frac{1}{2}}\\ 1&{\frac{1}{2}} \end{array}} \right)$ dan $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 0&6 \end{array}} \right)$ sehingga persamaan tersebut menjadi $AX=B$.

$\det A = \left( {3.\frac{1}{2} - \frac{1}{2}.1} \right) = 1$, sehingga ${A^{ - 1}} = \frac{1}{1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\\ { - 1}&3 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\\ { - 1}&3 \end{array}} \right)$. Untuk persamaan matriks $AX=B$, penyelesaiannya adalah

$\begin{array}{l} X &= {A^{ - 1}}B\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\\ { - 1}&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 0&6 \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 0}&{1 - 3}\\ { - 4 + 0}&{ - 2 + 18} \end{array}} \right)\\ &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 2}\\ { - 4}&{16} \end{array}} \right) \end{array}$

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Menggunakan Matriks

Penggunaan lain dari invers matriks adalah untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari suatu $SPLDV$. Untuk lebih jelasnya bisa disimak pada contoh berikut ini

Contoh 1

Tentukan penyelesaian $SPLDV$ di bawah ini dengan metode invers matriks

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x + 5y = 17}\\ {2x + 3y = 11} \end{array}} \right.$

Jawab

Penyelesaian dari $SPLDV$ tersebut dengan metode invers matriks.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x + 5y = 17}\\ {2x + 3y = 11} \end{array}} \right.$

Diubah dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut

$\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ 2&3 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {17}\\ {11} \end{array}} \right)\\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) &= \frac{1}{{4.3 - 5.2}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 5}\\ { - 2}&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {17}\\ {11} \end{array}} \right)\\ &= \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 5}\\ { - 2}&4 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {17}\\ {11} \end{array}} \right)\\ &= \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 \times 17 + \left( { - 5} \right) \times 11}\\ {\left( { - 2} \right) \times 17 + 4 \times 11} \end{array}} \right)\\ &= \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {51 - 55}\\ {\left( { - 34} \right) + 44} \end{array}} \right)\\ &= \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ {10} \end{array}} \right)\\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) &= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 5 \end{array}} \right) \end{array}$

Berdasarkan hasil terakhir diperoleh $x=-2$ dan $y=5$ atau $HP = \left\{ { - 2,5} \right\}$.

Contoh 2

Tentukan penyelesaian $SPLDV$ di bawah ini dengan metode invers matriks

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = -2}\\ {x - y = 8} \end{array}} \right.$

Jawab

Penyelesaian dari $SPLDV$ tersebut dengan metode invers matriks.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y = -2}\\ {x - y = 8} \end{array}} \right.$

Diubah dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut

$\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)}&{ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 8 \end{array}} \right)}\\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)}&{ = \frac{1}{{1.\left( { - 1} \right) - 1.1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}\\ { - 1}&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 8 \end{array}} \right)}\\ {}&{ = \frac{1}{{ - 2}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1}\\ { - 1}&1 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 8 \end{array}} \right)}\\ {}&{ = - \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( { - 1} \right) \times \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) \times 8}\\ {\left( { - 1} \right) \times \left( { - 2} \right) + 1 \times 8} \end{array}} \right)}\\ {}&{ = - \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 8}\\ {2 + 8} \end{array}} \right)}\\ {}&{ = - \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ {10} \end{array}} \right)}\\ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)}&{ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 5} \end{array}} \right)} \end{array}$

Berdasarkan hasil terakhir diperoleh $x=3$ dan $y=-5$ atau $HP = \left\{ { 3,-5} \right\}$.

Menentukan Penyelesaian $SPLDV$ dengan Metode Determinan

Untuk menentukan penyelesaian $SPLDV$ dengan bentuk umum sebagai berikut:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}x + {b_1}y = {c_1}}\\ {{a_2}x + {b_2}y = {c_2}} \end{array}} \right.$

Berdasarkan contoh di atas, penyelesaian dari $SPLDV$ tersebut adalah $x = \frac{{{c_1}{b_2} - {c_2}{b_1}}}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}$ dan $y = \frac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}$. Penyelesaian ini (bagi nilai $x$ dan nilai $y$) dapat dinyatakan dengan notasi determinan $x = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{b_1}}\\ {{c_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}}$ dan $y = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}}$. Dengan menetapkan $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|$, ${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}}&{{b_1}}\\ {{c_2}}&{{b_2}} \end{array}} \right|$, dan ${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{c_2}} \end{array}} \right|$, diperoleh $x = \frac{{{D_x}}}{D}$ dan $y = \frac{{{D_y}}}{D}$

Contoh 3

Tentukan penyelesaian $SPLDV$ di bawah ini dengan menggunakan metode determinan

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + y = 8}\\ {3x + 4y = 27} \end{array}} \right.$

Jawab

$\begin{array}{l} D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 3&4 \end{array}} \right| = 2.4 - 1.3 = 5\\ {D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 8&1\\ {27}&4 \end{array}} \right| = 8.4 - 1.27 = 5\\ {D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&8\\ 3&{27} \end{array}} \right| = 2.27 - 8.3 = 30\\ x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{5}{5} = 1\\ y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{30}}{5} = 6 \end{array}$

Jadi, penyelesaian $SPLDV$ itu adalah $x=1$ dan $y=6$ atau himpunan penyelesaiannya adalah $HP = \left\{ {1,6} \right\}$.