Persamaan Eksponen

Definisi

Persamaan Eksponen adalah persamaan yang eksponennya pengandung peubah $x$ dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah $x$.

Dalam pasal-pasal berikut ini dibahas beberapa macam bentuk persamaan eksponen disertai cara menentukan penyelesaiannya.

Bentuk ${a^{f\left( x \right)}} = {a^p}$

himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen ${a^{f\left( x \right)}} = {a^p}$ dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.

Jika ${a^{f\left( x \right)}} = {a^p}\left( {a > 0\text{ dan }a \ne 1} \right)$, maka $f\left( x \right) = p$.

Contoh 1

Tentukan Himpunan Penyelesaian setiap persamaan eksponen berikut.

1. ${3^{2x - 6}} = 1$
2. $3\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{27}}} \right)}^{2x + 1}}} = \sqrt {243} $

Jawab

$\begin{array}{l} {3^{2x - 6}} &= 1\\ \Leftrightarrow {3^{2x - 6}} &= {3^0}\\ \Leftrightarrow 2x - 6 &= 0\\ \Leftrightarrow 2x &= 6\\ \Leftrightarrow x &= \frac{6}{2}\\ \Leftrightarrow x &= 3 \end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ 3 \right\}$.

$\begin{array}{l} 3\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{27}}} \right)}^{2x + 1}}} &= \sqrt {243} \\ \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{{3^3}}}} \right)}^{2x + 1}}} &= \sqrt {{3^5}} \\ \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\left( {{3^{ - 3}}} \right)}^{2x + 1}}} &= {3^{\frac{5}{2}}}\\ \Leftrightarrow {3^1} \times {\left( {{3^{ - 3}}} \right)^{\frac{{2x + 1}}{2}}} &= {3^{\frac{5}{2}}}\\ \Leftrightarrow {3^{\frac{{ - 6x - 3}}{2}}} &= {3^{\frac{5}{2} - 1}}\\ \Leftrightarrow {3^{\frac{{ - 6x - 3}}{2}}} &= {3^{\frac{3}{2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 6x - 3}}{2} &= \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow - 6x - 3 &= 3\\ \Leftrightarrow - 6x &= 6\\ \Leftrightarrow x &= - 1 \end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ -1 \right\}$.

Bentuk ${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}}$

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen ${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}}$ dapat ditentukan dengan menggunakan sifat sebagai berikut.

Jika ${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}}\left( {a > 0\text{ dan }a \ne 1} \right)$, maka $f\left( x \right) = g\left( x \right)$.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut.

1. ${2^{3x + 2}} = \sqrt {{8^{x - 2}}} $
2. ${3^{{x^2} - 1}} = \sqrt {{{9}^{{x^3} - 4{x^2} + 6x - 1}}} $

Jawab

$\begin{array}{l} {2^{3x + 2}} &= \sqrt {{8^{x - 2}}} \\ \Leftrightarrow {2^{3x + 2}} &= {8^{\frac{{x - 2}}{2}}}\\ \Leftrightarrow {2^{3x + 2}} &= {\left( {{2^3}} \right)^{\frac{{x - 2}}{2}}}\\ \Leftrightarrow {2^{3x + 2}} &= {2^{\frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{2}}}\\ \Leftrightarrow {2^{3x + 2}} &= {2^{\frac{3}{2}x - 3}}\\ \Leftrightarrow 3x + 2 &= \frac{3}{2}x - 3\\ \Leftrightarrow 3x - \frac{3}{2}x &= - 3 - 2\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}x &= - 5\\ \Leftrightarrow x &= - 5 \times \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x &= - \frac{{10}}{3} \end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ { - \frac{{10}}{3}} \right\}$.

$\begin{array}{l} {3^{{x^2} - 1}} &= \sqrt {{9^{{x^3} - 4{x^2} + 6x - 1}}} \\ \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 1}} &= {9^{\frac{{{x^3} - 4{x^2} + 6x - 1}}{2}}}\\ \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 1}} &= {\left( {{3^2}} \right)^{\frac{{{x^3} - 4{x^2} + 6x - 1}}{2}}}\\ \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 1}} &= {3^{\frac{{2\left( {{x^3} - 4{x^2} + 6x - 1} \right)}}{2}}}\\ \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 1}} &= {3^{{x^3} - 4{x^2} + 6x - 1}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 &= {x^3} - 4{x^2} + 6x - 1\\ \Leftrightarrow {x^3} - 5{x^2} + 6x &= 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) &= 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) &= 0\\ \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 2 \vee x = 3 \end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ {0,2,3} \right\}$.

Bentuk ${a^{f\left( x \right)}} = {b^{f\left( x \right)}}$

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen ${a^{f\left( x \right)}} = {b^{f\left( x \right)}}$, dengan $a \ne b$ dapat ditentukan dengan menggunakan sifat sebagai berikut.

Jika ${a^{f\left( x \right)}} = {b^{f\left( x \right)}}\left( {a > 0{\text{ dan }}a \ne 0,b > 0{\text{ dan }}b \ne 0,{\text{ dan }}a \ne b} \right)$, maka $f\left( x \right) = 0$.

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut.

1. ${3^{3x - 6}} = {4^{3x - 6}}$
2. ${2^{{x^2} - 6x + 8}} = {5^{{x^2} - 6x + 8}}$

Jawab

$\begin{array}{l} {3^{3x - 6}} &= {4^{3x - 6}}\\ \Leftrightarrow 3x - 6 &= 0\\ \Leftrightarrow 3x &= 6\\ \Leftrightarrow x &= 2 \end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ 2 \right\}$.

$\begin{array}{l} {2^{{x^2} - 6x + 8}} &= {5^{{x^2} - 6x + 8}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 &= 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) &= 0\\ \Leftrightarrow x = 2 \vee x = 4 \end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ {2,4} \right\}$.

Bentuk ${\left[ {h\left( x \right)} \right]^{f\left( x \right)}} = {\left[ {h\left( x \right)} \right]^{g\left( x \right)}}$

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen ${\left[ {h\left( x \right)} \right]^{f\left( x \right)}} = {\left[ {h\left( x \right)} \right]^{g\left( x \right)}}$ dapat ditentukan dengan menggunakan sifat sebagai berikut.

Jika ${\left[ {h\left( x \right)} \right]^{f\left( x \right)}} = {\left[ {h\left( x \right)} \right]^{g\left( x \right)}}$, maka kemungkinannya adalah

1. $f\left( x \right) = g\left( x \right)$
2. $h\left( x \right) = 1$
3. $h\left( x \right) = 0$, asalkan $f\left( x \right)$ dan $g\left( x \right)$ keduanya positif.
4. $h\left( x \right) = -1$, asalkan $f\left( x \right)$ dan $g\left( x \right)$ keduanya ganjil atau $f\left( x \right)$ dan $g\left( x \right)$ keduanya genap.

Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut.

${\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)^{2x - 1}} = {\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)^{x + 5}}$

Jawab

${\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)^{2x - 1}} = {\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)^{x + 5}}$ merupakan persamaan eksponen yang berbentuk ${\left[ {h\left( x \right)} \right]^{f\left( x \right)}} = {\left[ {h\left( x \right)} \right]^{g\left( x \right)}}$, dengan $h\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1$, $f\left( x \right) = 2x - 1$, dan $g\left( x \right) = x + 5$.

Himpunan penyelesaian persamaan eksponen itu dapat ditentukan dari berbagai kemungkinan berikut.

$\begin{array}{l} f\left( x \right) &= g\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 1 &= x + 5\\ \Leftrightarrow 2x - x &= 5 + 1\\ \Leftrightarrow x &= 6 \end{array}$
$\begin{array}{l} h\left( x \right) &= 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 &= 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x &= 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) &= 0\\ \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 3 \end{array}$
$\begin{array}{l} h\left( x \right) &= 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 &= 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {3 + \sqrt 5 } \right) \vee x = \frac{1}{2}\left( {3 - \sqrt 5 } \right) \end{array}$

(diperoleh dengan menggunakan Rumus ABC)

Kedua nilai $x$ tersebut di atas harus diuji dengan cara substitusi ke dalam $f\left( x \right)$ dan $g\left( x \right)$.

• Untuk $x = \frac{1}{2}\left( {3 + \sqrt 5 } \right)$ didapat
$\begin{array}{l} f\left( x \right) &= 2x - 1\\ \Leftrightarrow f\left( {\frac{1}{2}\left( {3 + \sqrt 5 } \right)} \right) &= 2.\frac{1}{2}\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - 1\\ &= 2 + \sqrt 5 > 0\\ g\left( x \right) &= x + 5\\ \Leftrightarrow g\left( {\frac{1}{2}\left( {3 + \sqrt 5 } \right)} \right) &= \frac{1}{2}\left( {3 + \sqrt 5 } \right) + 5\\ &= \frac{1}{2}\left( {13 + \sqrt 5 } \right) > 0 \end{array}$

Tampak bahwa $f\left( x \right) > 0$ dan $g\left( x \right) > 0$ untuk $x = \frac{1}{2}\left( {3 + \sqrt 5 } \right)$. Jadi, $x = \frac{1}{2}\left( {3 + \sqrt 5 } \right)$ merupakan penyelesaian.

• Untuk $x = \frac{1}{2}\left( {3 - \sqrt 5 } \right)$ didapat
$\begin{array}{l} f\left( x \right) &= 2x - 1\\ \Leftrightarrow f\left( {\frac{1}{2}\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} \right) &= 2.\frac{1}{2}\left( {3 - \sqrt 5 } \right) - 1\\ &= 2 - \sqrt 5 < 0\\ g\left( x \right) &= x + 5\\ \Leftrightarrow g\left( {\frac{1}{2}\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} \right) &= \frac{1}{2}\left( {3 - \sqrt 5 } \right) + 5\\ &= \frac{1}{2}\left( {13 - \sqrt 5 } \right) > 0 \end{array}$

Tampak bahwa $f\left( x \right) < 0$ dan $g\left( x \right) > 0$ untuk $x = \frac{1}{2}\left( {3 - \sqrt 5 } \right)$. Jadi, $x = \frac{1}{2}\left( {3 - \sqrt 5 } \right)$ bukan merupakan penyelesaian.

$\begin{array}{l} h\left( x \right) &= - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 &= - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 &= 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) &= 0\\ \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 2 \end{array}$

Kedua nilai $x$ tersebut di atas harus diuji dengan cara substitusi ke dalam $f\left( x \right)$ dan $g\left( x \right)$.

• Untuk $x = 1$ didapat
$\begin{array}{l} f\left( x \right) &= 2x - 1\\ \Leftrightarrow f\left( 1 \right) &= 2.1 - 1\\ &= 1\left( {ganjil} \right)\\ g\left( x \right) &= x + 5\\ \Leftrightarrow g\left( 1 \right) &= 1 + 5\\ &= 6\left( {genap} \right) \end{array}$

Tampak bahwa $f\left( x \right)$ ganjil dan $g\left( x \right)$ genap untuk $x = 1$. Jadi, $x = 1$ bukan merupakan penyelesaian.

• Untuk $x = 2$ didapat
$\begin{array}{l} f\left( x \right) &= 2x - 1\\ \Leftrightarrow f\left( 1 \right) &= 2.2 - 1\\ &= 3\left( {ganjil} \right)\\ g\left( x \right) &= x + 5\\ \Leftrightarrow g\left( 1 \right) &= 2 + 5\\ &= 7\left( {ganjil} \right) \end{array}$

Tampak bahwa $f\left( x \right)$ dan $g\left( x \right)$ keduanya ganjil untuk $x = 2$. Jadi, $x = 2$ merupakan penyelesaian.

Dari hasil perhitungan pada poin 1, 2, 3, dan 4 dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian persamaan ${\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)^{2x - 1}} = {\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)^{x + 5}}$ adalah $\left\{ {0,2,3,\frac{1}{2}\left( {3 + \sqrt 5 } \right),6} \right\}$.

Bentuk $A{\left[ {{a^{f\left( x \right)}}} \right]^2} + B\left[ {{a^{f\left( x \right)}}} \right] + C = 0$

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen $A{\left[ {{a^{f\left( x \right)}}} \right]^2} + B\left[ {{a^{f\left( x \right)}}} \right] + C = 0$ ($a > 0$ dan $a \ne 1$, $A$, $B$, dan $C$ bilangan real dan $A \ne 0$) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat.

Contoh 5

Tentukan himpunan penyelesaian dari ${2^{2x}} - {12.2^x} + 32 = 0$

Jawab

$\begin{array}{l} {2^{2x}} - {12.2^x} + 32 &= 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 12.\left( {{2^x}} \right) + 32 &= 0 \end{array}$

Misalkan ${2^x} = y$, maka persamaan ${\left( {{2^x}} \right)^2} - 12.\left( {{2^x}} \right) + 32 = 0$ dapat ditulis menjadi

$\begin{array}{l} {y^2} - 12y + 32 &= 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 4} \right)\left( {y - 8} \right) &= 0\\ \Leftrightarrow y = 4 \vee y = 8 \end{array}$

• Untuk $y=4$ didapat
$\begin{array}{l} {2^x} = y\\ \Leftrightarrow {2^x} &= 4\\ \Leftrightarrow {2^x} &= {2^2}\\ \Leftrightarrow x &= 2 \end{array}$
• Untuk $y=8$ didapat
$\begin{array}{l} {2^x} = y\\ \Leftrightarrow {2^x} &= 8\\ \Leftrightarrow {2^x} &= {2^3}\\ \Leftrightarrow x &= 3 \end{array}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\left\{ {2,3} \right\}$.