Logaritma dalam Persamaan Eksponen

Definisi Logaritma suatu Bilangan

Logaritma Suatu Bilangan

Misalkan $a$ adalah bilangan positif $\left( {a > 0} \right)$ dan $b$ adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 $\left( {b > 0 \wedge b \ne 1} \right)$. Logaritma $a$ dengan bilangan pokok $b$ (ditulis ${}^b\log a$) adalah eksponen yang akan dimiliki oleh $a$ jika bilangan $a$ ini dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok $b$. Ditulis:

\[\boxed{{}^b\log a = x \leftrightarrow a = {b^x}}\]

Dari definisi di atas jelas bahwa $a = {b^x}$ dan ${}^b\log a = x$ merupakan dua buah hubungan yang ekuivalen atau setara. Ini berarti setiap bentuk bilangan berpangkat dapat diubah ke bentuk logaritma, dan sebaliknya. Bentuk $a = {b^x}$ dinamakan bentuk eksponensial dan bentuk ${}^b\log a = x$ dinamakan bentuk logaritma.

Selain itu, beberapa ketentuan yang harus dipahami dalam logaritma diantaranya adalah:

• Bilangan pokok atau basis logaritma $b$ ditetapkan positif dan tidak sama dengan 1 $\left( {b > 0 \wedge b \ne 1} \right)$.
• Untuk $b=10$, biasanya bilangan pokok ini tidak ditulis, jadi $log 5$ yang dimaksud adalah ${}^{10}\log 5$.
• Untuk $b=e$ ($e$ bilangan irrasional dengan $e \cong 2,71828 \cdots $), ${}^e\log a = \ln a$ (dibaca: logaritma natural dari $a$) yaitu logaritma dengan bilangan pokok $e$.
• Bilangan yang dicari logaritmanya $a$ disebut numerus, dengan $a$ bernilai positif $\left( {a > 0} \right)$.
• Hasil logaritma $x$ dapat bernilai positif, nol, atau negatif.

Contoh 1

Hitunglah nilai dari logaritma-logaritma berikut ini

1. ${}^5\log \frac{1}{{25}}$
2. $\log \sqrt[5]{{1.000}}$

Jawab

$\begin{array}{l} {}^5\log \frac{1}{{25}} &= {}^5\log {5^{ - 2}}\\ &= - 2 \end{array}$
$\begin{array}{l} \log \sqrt[5]{{1.000}} &= \log \sqrt[5]{{{{10}^3}}}\\ &= \log {10^{\frac{3}{5}}}\\ &= \frac{3}{5} \end{array}$

Sifat-Sifat Logaritma

Berikut ini disajikan sifat-sifat logaritma.

Jika ${g > 0}$ dan ${g \ne 1}$, ${p > 0}$ dan ${p \ne 1}$, ${a > 0}$, dan ${b > 0}$ maka berlaku hubungan

1. ${}^g\log {g^n} = n$
2. ${}^g\log g = 1$
3. ${}^g\log 1 = 0$
4. ${}^g\log \left( {a \times b} \right) = {}^g\log a + {}^g\log b$
5. ${}^g\log \left( {\frac{a}{b}} \right) = {}^g\log a - {}^g\log b$
6. ${}^g\log {a^n} = n \times {}^g\log a$
7. 1. ${}^g\log a = \frac{{{}^p\log a}}{{{}^p\log g}}$
   2. ${}^g\log a = \frac{1}{{{}^a\log g}}$
8. 1. ${}^g\log a \times {}^a\log b = {}^g\log b$
   2. ${}^{{g^n}}\log {a^m} = \frac{m}{n}{}^g\log a$
9. 1. ${g^{{}^g\log a}} = a$
   2. ${\left( {{g^m}} \right)^{{}^{{g^n}}\log a}} = {a^{\frac{m}{n}}}$

Contoh 2

Hitunglah:

1. $\log 4 + \log 5 - \log 2$
2. ${}^9\log \sqrt[3]{{36}} \times {}^6\log \frac{1}{3}$

Jawab

$\begin{array}{l} \log 4 + \log 5 - \log 2 &= \log \left( {\frac{{4 \times 5}}{2}} \right)\\ &= \log 10\\ &= 1 \end{array}$
$\begin{array}{l} {}^9\log \sqrt[3]{{36}} \times {}^6\log \frac{1}{3} &= {}^9\log \sqrt[3]{{{6^2}}} \times {}^6\log {3^{ - 1}}\\ &= {}^9\log {6^{\frac{2}{3}}} \times {}^6\log {3^{ - 1}}\\ &= \frac{2}{3} \times \left( { - 1} \right) \times {}^9\log 6 \times {}^6\log 3\\ &= - \frac{2}{3} \times {}^9\log 3\\ &= - \frac{2}{3} \times {}^{{3^2}}\log 3\\ &= - \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times {}^3\log 3\\ &= - \frac{1}{3} \end{array}$

Contoh 3

Misalkan diketahui $\log2=0,301$, hitunglah nilai dari ${}^2\log 50$

Jawab

$\begin{array}{l} {}^2\log 50 &= {}^2\log \left( {\frac{{100}}{2}} \right)\\ &= {}^2\log 100 - {}^2\log 2\\ &= \frac{{\log 100}}{{\log 2}} - 1\\ &= \frac{2}{{0,301}} - 1\\ &\cong 6,645 - 1\\ &= 5,645 \end{array}$

Contoh 4

Misalkan diketahui ${}^2\log 3 = a$ dan ${}^2\log 5 = b$. Nyatakan ${}^6\log 50$ dalam $a$ dan $b$.

Jawab

$\begin{array}{l} {}^2\log 3 = a\\ {}^2\log 5 = b\\ {}^6\log 50 &= \frac{{{}^2\log 50}}{{{}^2\log 6}}\\ &= \frac{{{}^2\log \left( {25 \times 2} \right)}}{{{}^2\log \left( {3 \times 2} \right)}}\\ &= \frac{{{}^2\log 25 + {}^2\log 2}}{{{}^2\log 3 + {}^2\log 2}}\\ &= \frac{{{}^2\log {5^2} + {}^2\log 2}}{{{}^2\log 3 + {}^2\log 2}}\\ &= \frac{{2 \times {}^2\log 5 + {}^2\log 2}}{{{}^2\log 3 + {}^2\log 2}}\\ &= \frac{{2b + 1}}{{a + 1}} \end{array}$

Penyelesaian Persamaan Eksponen ${a^{f\left( x \right)}} = b$ dan ${a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}}$

Persamaan-persamaan eksponen yang berbentuk ${a^{f\left( x \right)}} = b$ dan ${a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}}$, dengan $a \ne b$ tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat eksponen. Persamaan-persamaan itu dapat diselesaikan dengan cara mengambil logaritma pada masing-masing ruas persamaan. Kemudian diterapkan sifat 3 yaitu : ${}^g\log {a^n} = n \times {}^g\log a$.

Contoh 5

Tentukan penyelesaian dari persamaan ${2^{3x - 1}} = {6^{x + 2}}$

Jawab

$\begin{array}{l} {2^{3x - 1}} &= {6^{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \log {2^{3x - 1}} &= \log {6^{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\log 2 &= \left( {x + 2} \right)\log 6\\ \Leftrightarrow 3x\log 2 - \log 2 &= x\log 6 + 2\log 6\\ \Leftrightarrow 3x\log 2 - x\log 6 &= 2\log 6 + \log 2\\ \Leftrightarrow x\left( {3\log 2 - \log 6} \right) &= 2\log 6 + \log 2\\ \Leftrightarrow x &= \frac{{2\log 6 + \log 2}}{{3\log 2 - \log 6}} \end{array}$

Jadi, penyelesaian persamaan ${2^{3x - 1}} = {6^{x + 2}}$ adalah $x = \frac{{2\log 6 + \log 2}}{{3\log 2 - \log 6}}$.