Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan Aritmetika

Untuk mengenali ciri yang ada pada suatu barisan aritmetika, simaklah barisan-barisan bilangan berikut ini.

1. $1,6,11,16, \cdots $
2. $6,4,2,0, \cdots $

Perhatikan bahwa masing-masing barisan bilangan di atas mempunyai ciri tertentu, yaitu selisih dua suku yang berurutan selalu mempunyai nilai yang tetap (konstan). Barisan bilangan yang mempunyai ciri semacam itu dinamakan barisan aritmetika dan selisih dua suku yang berurutan dinamakan beda dari barisan aritmetika tersebut, dan dilambangkan dengan huruf $b$. Sebagai contoh:

1. Untuk barisan $1,6,11,16, \cdots $, beda $b = 11 - 6 = 6 - 1 = 5$.
2. Untuk barisan $6,4,2,0, \cdots $, beda $b = 4 - 2 = 2 - 0 = 2$.

Dengan demikian, barisan aritmetika dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Barisan Aritmetika

Suatu barisan ${u_1},{u_2},{u_3}, \cdots {u_n}$ disebut barisan aritmetika jika untuk sembarang nilai $n$ berlaku hubungan: \[\boxed{{u_n} - {u_{n - 1}} = b}\] dengan $b$ adalah suatu tetapan (konstanta) yang tidak tergantung pada $n$.

Rumus Umum Suku ke-n pada Barisan Aritmetika

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$, maka suku-suku barisan itu dapat divisualisasikan sebagai berikut.

${u_1}$	${u_2}$	${u_3}$	${u_4}$	$ \cdots $	${u_n}$
$a$	$a+b$	$a+2b$	$a+3b$	$ \cdots $	$a + \left( {n - 1} \right)b$

Berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan dalam tabel di atas, maka rumus suku ke-n untuk barisan aritmetika dapat ditentukan melalui hubungan berikut.

Rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$. Rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika itu ditentukan oleh: \[\boxed{{u_n} = a + \left( {n - 1} \right)b}\]

Contoh 1

Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-100 dari barisan aritmetika $1,6,11,16, \cdots $

Jawab

$\begin{array}{l} a &= 1\\ b &= 6 - 1 = 5\\ {u_n} &= a + \left( {n - 1} \right)b\\ {u_{100}} &= 1 + \left( {100 - 1} \right).5\\ &= 1 + 99.5\\ &= 496 \end{array}$

Contoh 2

Suku ketiga suatu barisan aritmetika adalah $11$ dan suku ke-10 adalah $39$. Tentukan:

1. Suku pertama dan beda barisan tersebut.
2. Rumus suku ke-n.

Jawab

$\begin{array}{l} {u_n} = a + \left( {n - 1} \right)b\\ {u_3} = a + \left( {3 - 1} \right)b = 11\\ \Leftrightarrow a + 2b = 11 \cdots \cdots \left( 1 \right)\\ {u_{10}} = a + \left( {10 - 1} \right)b = 39\\ \Leftrightarrow a + 9b = 39 \cdots \cdots \left( 2 \right) \end{array}$

Dengan eliminasi $\left( 1 \right)$ dan $\left( 2 \right)$, diperoleh

$\begin{array}{l} a + 9b = 39 \cdots \cdots \left( 2 \right)\\ \underline {a + 2b = 11 \cdots \cdots \left( 1 \right)} \\ 7b = 28\\ b = \frac{{28}}{7}\\ b = 4 \end{array}$

Dengan menyubtitusikan $b = 4$ ke persamaan $\left( 1 \right)$ diperoleh.

$\begin{array}{l} a + 2b &= 11 \cdots \cdots \left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow a + 2.4 &= 11\\ \Leftrightarrow a + 8 &= 11\\ \Leftrightarrow a &= 11 - 8\\ \Leftrightarrow a &= 3 \end{array}$

Jadi, suku pertama $a=3$ dan beda $b=4$.

2. Rumus suku ke-n.
$\begin{array}{l} {u_n} &= a + \left( {n - 1} \right)b\\ {u_n} &= 3 + \left( {n - 1} \right).4\\ &= 3 + 4n - 4\\ &= 4n - 1 \end{array}$

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah ${u_n} = 4n - 1$.

Jadi, suku pertama $a=1$, beda $b=5$, dan suku ke-100 adalah ${u_{100}} = 496$.

Suku Tengah pada Barisan Aritmetika

Suku tengah suatu barisan aritmetika dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini. Misalkan barisan aritmetika yang terdiri atas $\left( {2k - 1} \right)$ suku: ${u_1}, \cdots ,{u_k}, \cdots {u_{2k - 1}}$, maka suku tengahnya adalah ${u_k}$.

$\begin{array}{l} {u_k} &= a + \left( {k - 1} \right)b\\ &= \frac{1}{2}\left[ {2a + 2\left( {k - 1} \right)b} \right]\\ &= \frac{1}{2}\left[ {a + a + 2\left( {k - 1} \right)b} \right]\\ &= \frac{1}{2}\left[ {{u_1} + {u_{2k - 1}}} \right] \end{array}$

Rumus suku tengah pada barisan aritmetika

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil $\left( {2k - 1} \right)$, dengan $k$ bilangan asli lebih dari 2. Suku tengah barisan aritmetika itu adalah suku ke-k atau ${u_k}$ dan rumus suku tengah ${u_k}$ ditentukan oleh rumus: \[\boxed{{u_k} = \frac{1}{2}\left[ {{u_1} + {u_{2k - 1}}} \right]}\]

Contoh 3

Diketahui barisan aritmetika $3,5,7, \cdots ,95$. Banyak suku pada barisan tersebut adalah ganjil.

1. Carilah suku tengahnya!
2. Suku keberapakah suku tengahnya tersebut?
3. Berapakah banyak suku barisan tersebut?

Jawab

$\begin{array}{l} 3,5,7, \cdots ,95\\ a &= {u_1} = 3\\ b &= 5 - 3 = 2\\ {u_{2k - 1}} &= 95\\ {u_k} &= \frac{1}{2}\left[ {{u_1} + {u_{2k - 1}}} \right]\\ &= \frac{1}{2}\left[ {3 + 95} \right]\\ &= \frac{1}{2}\left[ {98} \right]\\ {u_k} &= 49 \end{array}$

Jadi, suku tengahnya adalah ${u_k} = 49$.

$\begin{array}{l} {u_k} &= 49\\ \Leftrightarrow a + \left( {k - 1} \right)b &= 49\\ \Leftrightarrow 3 + \left( {k - 1} \right)2 &= 49\\ \Leftrightarrow 3 + 2k - 2 &= 49\\ \Leftrightarrow 2k &= 48\\ \Leftrightarrow k &= 24 \end{array}$

Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-24.

3. Banyaknya suku pada barisan tersebut adalah $2k - 1 = 2.24 - 1 = 47$.

Sisipan pada Barisan Aritmetika

Misalkan diantara dua bilangan real $x$ dan $y$ (dengan $x \ne y$) akan disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan, dengan $k$ bilangan asli. Bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan itu membentuk barisan aritmetika. Susunan bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan dapat divisualisasikan dengan menggunakan barisan berikut.

\[\boxed{x,\underbrace {\left( {x + b} \right),\left( {x + 2b} \right), \cdots ,\left( {x + kb} \right)}_{\text{bilangan yang disisipkan sebanyak k buah}},y}\]

Rumus sisipan pada barisan aritmetika

Di antara dua bilangan $x$ dan $y$ disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentukan barisan aritmetika. Nilai beda barisan aritmetika yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan rumus: \[\boxed{b = \frac{{y - x}}{{k + 1}}}\] dengan $x$ dan $y$ anggota bilangan real $\left( {x \ne y} \right)$ dan $k$ bilangan asli.

Contoh 4

Di antara bilangan $4$ dan $28$ disisipkan $5$ buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Carilah beda dari barisan tersebut!

Jawab

$\begin{array}{l} x &= 4\\ y &= 28\\ k &= 5\\ b &= \frac{{y - x}}{{k + 1}}\\ &= \frac{{28 - 4}}{{5 + 1}}\\ &= \frac{{24}}{6}\\ &= 4 \end{array}$

Jadi, beda barisan aritmetika yang terbentuk adalah $b=4$.

Deret Aritmetika

Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmetika disebut sebagai deret aritmetika. Sebagai contoh:

• Dari barisan aritmetika $1,3,5,7, \cdots ,99$ dapat dibentuk deret aritmetika $1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 99$.
• Dari barisan aritmetika $2,4,6, \cdots ,2n$ dapat dibentuk deret aritmetika $2 + 4 + 6 + \cdots + 2n$.

Definisi: Deret Aritmetika

Jika ${u_1},{u_2},{u_3}, \cdots {u_n}$ merupakan suku-suku barisan aritmetika, maka ${u_1} + {u_2} + {u_3} + \cdots + {u_n}$ dinamakan sebagai deret aritmetika.

Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika dilambangkan dengan ${S_n}$, dan ${S_n}$ ditentukan oleh \[\boxed{{S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + \cdots + {u_n}}\]

Rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika

Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmetika ${u_1} + {u_2} + {u_3} + \cdots + {u_n}$ ditentukan dengan menggunakan rumus: \[\boxed{{S_n} = \frac{n}{2}\left( {a + {u_n}} \right)}\] atau \[\boxed{{S_n} = \frac{n}{2}\left( {2a + \left( {n - 1} \right)b} \right)}\] dengan $n$ = banyak suku, $a$ = suku pertama, dan ${u_n}$ = suku ke-n.

Sifat-sifat ${S_n}$ pada deret aritmetika

Jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. ${S_n} = \frac{n}{2}\left( {a + {u_n}} \right)$ merupakan fungsi kuadrat dari $n$ ($n$ bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan.
2. Untuk setiap $n$ anggota bilangan asli berlaku hubungan $\boxed{{S_n} - {S_{n - 1}} = {u_n}}$

Contoh 5

Hitunglah jumlah deret aritmetika $2 + 4 + \cdots + 100$.

Jawab

Untuk menghitung jumlah deret pada soal di atas, perlu ditentukan terlebih dahulu banyak suku atau $n$ melalui hubungan ${u_n} = a + \left( {n - 1} \right)b$.

$\begin{array}{l} a &= 2\\ b &= 4 - 2 = 2\\ {u_n} &= 100\\ {u_n} &= a + \left( {n - 1} \right)b\\ 100 &= 2 + \left( {n - 1} \right)2\\ 100 &= 2 + 2n - 2\\ 100 &= 2n\\ n &= \frac{{100}}{2} = 50\\ {S_{50}} &= \frac{{30}}{2}\left( {a + {u_{50}}} \right)\\ &= 15\left( {2 + 100} \right)\\ &= 15 \times 102\\ &= 1.530 \end{array}$

Jadi, jumlah deret aritmetika $2 + 4 + \cdots + 100$ adalah ${S_{50}} = 1.530$.

Contoh 6

Hitunglah jumlah $100$ suku pertama dari deret aritmetika $6 + 5\frac{1}{3} + 4\frac{2}{3} + \cdots $.

Jawab

$\begin{array}{l} a &= 6\\ b &= 5\frac{1}{3} - 6 = - \frac{2}{3}\\ n &= 100\\ {S_n} &= \frac{n}{2}\left( {2a + \left( {n - 1} \right)b} \right)\\ {S_{100}} &= \frac{{100}}{2}\left( {2.6 + \left( {100 - 1} \right).\left( { - \frac{2}{3}} \right)} \right)\\ &= 50\left( {12 + 99.\left( { - \frac{2}{3}} \right)} \right)\\ &= 50\left( {12 - 66} \right)\\ &= 50 \times \left( { - 54} \right)\\ &= - 2.700 \end{array}$

Jadi, jumlah $100$ deret aritmetika $6 + 5\frac{1}{3} + 4\frac{2}{3} + \cdots $ adalah ${S_{100}} = - 2.700$.