Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran atau ukuran dispersi menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu kumpulan data memiliki nilai yang berbeda. Beberapa ukuran penyebaran data yang akan dibahas di sini adalah rentang atau jangkauan, jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, langkah, pagar dalam, pagar luar, ragam, dan simpangan baku.

Rentang, rentang antarkuartil, simpangan kuartil, langkah, pagar dalam, dan pagar luar

Menentukan Rentang atau Jangkauan

Rentang atau jangkauan (range) merupakan ukuran penyebaran data yang sederhana. Rentang dari suatu data didefinisikan sebagai selisih antara datum terbesar dengan datum terkecil. Jika rentang dilambangkan dengan $R$, maka $R$ ditentukan oleh:

\[\boxed{R = {x_{\max }} - {x_{\min }}}\]

Menentukan Rentang Antarkuartil

Rentang Antarkuartil atau jangkauan antarkuartil didefinisikan sebagai selisih antara kuartil ketiga $\left( {{Q_3}} \right)$ dengan kuartil pertama $\left( {{Q_1}} \right)$. Rentang antarkuartil disebut Hamparan dan dilambangkan dengan $H$, maka $H$ ditentukan oleh:

\[\boxed{H = {Q_3} - {Q_1}}\]

Menentukan Simpangan Kuartil

Simpangan kuartil dari suatu data didefinisikan sebagai setengah kali panjang hamparan. Oleh karena itu, simpangan kuartil disebut juga rentang semi antarkuartil. Jika simpangan kuartil dilambangkan dengan ${Q_d}$, maka ${Q_d}$ ditentukan oleh:

\[\boxed{{Q_d} = \frac{1}{2}H = \frac{1}{2}\left( {{Q_3} - {Q_1}} \right)}\]

Menentukan Langkah

Langkah didefinisikan sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan. Langkah dilambangkan dengan $L$, maka $L$ ditentukan oleh:

\[\boxed{L = 1\frac{1}{2}H = 1\frac{1}{2}\left( {{Q_3} - {Q_1}} \right)}\]

Menentukan Pagar Dalam dan Pagar Luar

Pagar dalam didefisikan sebagai sebuah nilai yang letaknya satu langkah di bawah kuartil pertama $\left( {{Q_1}} \right)$ dan pagar luar didefinisikan sebagai sebuah nilai yang letaknya satu langkah di atas kuartil ketiga $\left( {{Q_3}} \right)$. Dengan demikian, pagar dalam dan pagar luar dari suatu data ditentukan oleh:

\[\boxed{\begin{array}{l} \text{Pagar dalam} &= {Q_1} - L\\ \text{Pagar luar} &= {Q_3} + L \end{array}}\]

Pagar dalam dan pagar luar tersebut digunakan sebagai batas penentu normal atau tidaknya nilai data. Normal atau tidaknya nilai data ditetapkan sebagai berikut:

Untuk setiap nilai data ${x_i}$ yang terletak diantara batas-batas pagar dalam dan pagar luar $\left( {{Q_1} - L \le {x_i} \le {Q_3} + L} \right)$ disebut data normal. Data disebut normal, jika nilai data yang satu dengan nilai data yang lain tidak jauh berbeda.
Untuk setiap nilai data ${x_i}$ yang kurang dari pagar dalam $\left( {{x_i} < {Q_1} - L} \right)$ atau lebih dari pagar luar $\left( {{x_i} > {Q_3} + L} \right)$ merupakan data tidak normal. Data yang tidak normal ini disebut juga Pencilan. Jadi, jelas bahwa pencilan adalah data yang tidak konsisten dalam kelompoknya.

Ada beberapa kemungkinan penyebab munculnya data pencilan dalam suatu data, antara lain adalah sebagai berikut.

Terjadinya kesalahan ketika mencatat nilai data.
Terjadinya kesalahan ketika melakukan pengukuran, kesalahan ketika membaca alat ukur, atau kesalahan ketika menggunakan alat ukur.
Bukan salah catat dan bukan salah ukur, tetapi data itu memang diperoleh dari objek yang aneh (anomali) atau menyimpang. Data demikian disebut data yang berbeda asal.

Contoh 1

Perhatikan data berikut: $1, 3, 6, 9, 14, 18, 21$.

Tentukan:

Rentang
Rentang antarkuartil
Simpangan kuartil
Langkah, pagar dalam, dan pagar luar

Jawab

$\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}&{{x_4}}&{{x_5}}&{{x_6}}&{{x_7}}\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 1&3&6&9&{14}&{18}&{21}\\ {}& \uparrow &{}& \uparrow &{}& \uparrow &{}\\ {}&{{Q_1}}&{}&{{Q_2}}&{}&{{Q_3}}&{} \end{array}$

Ukuran data $n=7$ (ganjil), sehingga kuartil kedua ${Q_2} = {x_{\frac{{7 + 1}}{2}}} = {x_4} = 9$.
Kuartil pertama ${Q_1} = {x_2} = 3$.
Kuartil ketiga ${Q_3} = {x_6} = 18$.

Rentang
Rentang antarkuartil
Simpangan kuartil
Langkah, pagar dalam, dan pagar luar

Ragam dan Simpangan Baku

Data Tunggal

Ukuran penyebaran data yang ada hubungannya dengan nilai rerata dari suatu data adalah ragam dan simpangan baku. Misalkan $\overline x $ adalah rerata dari data ${x_1},{x_2},{x_3}, \cdots ,{x_n}$, maka

Ragam atau Varian data itu dirumuskan oleh:
Simpangan Baku atau Deviasi Standar data itu ditentukan oleh:

dengan $n$ = ukuran data, ${{x_i}}$ = nilai datum yang ke-$i$, dan $\overline x $ = nilai rerata.

Contoh 2

Tentukan ${S^2}$ dan simpangan baku $S$ untuk data : $10, 44, 56, 62, 65, 72, 76$.

Jawab

Nilai Rerata

$\begin{array}{l} \overline x &= \frac{1}{7}\sum\limits_{i = 1}^7 {{x_i}} \\ &= \frac{1}{7}\left( {10 + 44 + 56 + 62 + 65 + 72 + 76} \right)\\ &= \frac{1}{7}.385\\ &= 55 \end{array}$

Ragam

$\begin{array}{l} {S^2} &= \frac{1}{7}{\sum\limits_{i = 1}^7 {\left( {{x_i} - 55} \right)} ^2}\\ &= \frac{1}{7}\left[ \begin{array}{l} {\left( {10 - 55} \right)^2} + {\left( {44 - 55} \right)^2} + \\ {\left( {56 - 55} \right)^2} + {\left( {62 - 55} \right)^2} + \\ {\left( {65 - 55} \right)^2} + {\left( {72 - 55} \right)^2} + \\ {\left( {76 - 55} \right)^2} \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{7}\left( {3.026} \right)\\ &= 432,29 \end{array}$

Simpangan Baku

$S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {432,29} = 20,79$

Data Kelompok

Ragam dari suatu data yang disajikan dengan menggunakan daftar distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan rumus:

\[\boxed{{S^2} = \frac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^r {{f_i}\left( {{x_i} - \overline x } \right)} ^2}}\]

sedangkan simpangan bakunya ditentukan oleh:

\[\boxed{S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {\frac{1}{n}{{\sum\limits_{i = 1}^r {{f_i}\left( {{x_i} - \overline x } \right)} }^2}}} \]

dengan:

$n = \sum\limits_{i = 1}^r {{f_i}} $ = ukuran data.
$r$ = menyatakan banyak kelas.
untuk data yang dikelompokkan dalam kelas-kelas, ${{f_i}}$ menyatakan frekuensi kelas ke-$i$.
untuk data yang dikelompokkan dalam kelas-kelas, ${{x_i}}$ menyatakan titik tengah kelas ke-$i$.

Rumus ragam dan simpangan baku untuk data yang dikelompokkan dapat dinyatakan sebagai berikut.

\[\boxed{{S^2} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^r {{f_i}x_i^2} }}{n} - {\left( {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^r {{f_i}{x_i}} }}{n}} \right)^2}}\]

\[\boxed{S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^r {{f_i}x_i^2} }}{n} - {{\left( {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^r {{f_i}{x_i}} }}{n}} \right)}^2}} }\]

Contoh 3

Tentukan nilai ragam dan simpangan baku dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok berikut:

Hasil Pengukuran (mm)	Frekuensi $\left( {{f_i}} \right)$
$119-127$	$3$
$128-136$	$6$
$137-145$	$10$
$146-154$	$11$
$155-163$	$5$
$164-172$	$3$
$173-181$	$2$

Jawab

Hasil Pengukuran (mm)	Frekuensi $\left( {{f_i}} \right)$	Titik Tengah $\left( {{x_i}} \right)$	${\left( {{x_i} - \overline x } \right)^2}$	${f_i}{\left( {{x_i} - \overline x } \right)^2}$
$119-127$	$3$	$123$	$568,8225$	$1.706,4675$
$128-136$	$6$	$132$	$220,5225$	$1.323,1350$
$137-145$	$10$	$141$	$32,2225$	$342,2250$
$146-154$	$11$	$150$	$9,9225$	$109,1475$
$155-163$	$5$	$159$	$147,6225$	$738,1125$
$164-172$	$3$	$168$	$447,3225$	$1.341,9675$
$173-181$	$2$	$177$	$909,0225$	$1.818,0450$
	$\sum {{f_i} = 40} $			$\sum {{f_i}{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} = 7.379,1$

Dari tabel di atas diperoleh $\sum {{f_i} = 40} $ dan $\sum {{f_i}{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} = 7.379,1$. Jadi diperoleh:

Ragam
Simpangan Baku

nurhamim86 A Mathematics Teacher who also likes the IT world.

MathBlog

Ukuran Penyebaran Data

Rentang, rentang antarkuartil, simpangan kuartil, langkah, pagar dalam, dan pagar luar

Menentukan Rentang atau Jangkauan

Menentukan Rentang Antarkuartil

Menentukan Simpangan Kuartil

Menentukan Langkah

Menentukan Pagar Dalam dan Pagar Luar

Contoh 1

Jawab

Ragam dan Simpangan Baku

Data Tunggal

Contoh 2

Jawab

Data Kelompok

Contoh 3

Jawab

Post a Comment for "Ukuran Penyebaran Data"