Ukuran Letak Data

Menentukan Kuartil

Data Tunggal

Untuk statistik jajaran dengan ukuran data $n > 4$, dapat ditentukan $3$ buah nilai yang membagi statistik jajaran itu menjadi $4$ bagian yang sama. Ketiga nilai tersebut disebut sebagai kuartil.

1. Kuartil Pertama $\left( {{Q_1}} \right)$ mempartisi data menjadi $\frac{1}{4}$ bagian dan $\frac{3}{4}$ bagian.
2. Kuartil Kedua atau Median $\left( {{Q_2}} \right)$ mempartisi data menjadi $\frac{1}{2}$ bagian.
3. Kuartil Ketiga $\left( {{Q_3}} \right)$ mempartisi data menjadi $\frac{3}{4}$ bagian dan $\frac{1}{4}$ bagian.

Letak dari kuartil pertama $\left( {{Q_1}} \right)$, kuartil kedua $\left( {{Q_2}} \right)$, dan kuartil ketiga $\left( {{Q_3}} \right)$ dari data tersebut ditunjukkan dengan menggunakan bagan berikut ini.

\[\boxed{\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{Q_1}}&{{Q_2}}&{{Q_3}}&{{x_n}}&{ \leftarrow \text{data telah diurutkan}}\\ {}&{\text{kuartil pertama}}&{\text{kuartil kedua}}&{\text{kuartil ketiga}}&{}&{} \end{array}}\]

Langkah-langkah untuk mencari kuartil adalah:

Langkah 1

Pertama tentukan median atau kuartil kedua $\left( {{Q_2}} \right)$.

Langkah 2

• Kuartil pertama $\left( {{Q_1}} \right)$ ditentukan sebagai median semua datum yang kurang dari $\left( {{Q_2}} \right)$
• Kuartil ketiga $\left( {{Q_3}} \right)$ ditentukan sebagai median semua datum yang lebih dari $\left( {{Q_2}} \right)$

Contoh 1

Tentukan kuartil pertama $\left( {{Q_1}} \right)$, kuartil kedua $\left( {{Q_2}} \right)$, dan kuartil ketiga $\left( {{Q_3}} \right)$ untuk data berikut.

$1, 3, 6, 9, 14, 18, 21$

Jawab

$\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}&{{x_4}}&{{x_5}}&{{x_6}}&{{x_7}}\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 1&3&6&9&{14}&{18}&{21}\\ {}& \uparrow &{}& \uparrow &{}& \uparrow &{}\\ {}&{{Q_1}}&{}&{{Q_2}}&{}&{{Q_3}}&{} \end{array}$

• Ukuran data $n=7$ (ganjil), sehingga kuartil kedua ${Q_2} = {x_{\frac{{7 + 1}}{2}}} = {x_4} = 9$.
• Kuartil pertama ${Q_1} = {x_2} = 3$.
• Kuartil ketiga ${Q_3} = {x_6} = 18$.

Jadi, ${Q_1} = 3$, ${Q_2} = 9$, dan ${Q_3} = 18$.

Data Berkelompok

Nilai ${Q_1}$, ${Q_2}$, dan ${Q_3}$ dari data berkelompok dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

\[\boxed{{Q_1} = {L_1} + \left( {\frac{{\frac{1}{4}n - {{\left( {\sum f } \right)}_1}}}{{{f_1}}}} \right)c}\]

dengan:

• ${L_1}$ = tepi bawah kelas yang memuat kuartil pertama ${Q_1}$.
• ${{{\left( {\sum f } \right)}_1}}$ = jumlah frekuensi sebelum kuartil pertama ${Q_1}$.
• ${{f_1}}$ = frekuensi kelas yang memuat kuartil pertama ${Q_1}$.

\[\boxed{{Q_2} = {L_2} + \left( {\frac{{\frac{2}{4}n - {{\left( {\sum f } \right)}_2}}}{{{f_2}}}} \right)c}\]

dengan:

• ${L_2}$ = tepi bawah kelas yang memuat kuartil kedua ${Q_2}$.
• ${{{\left( {\sum f } \right)}_2}}$ = jumlah frekuensi sebelum kuartil pertama ${Q_2}$.
• ${{f_2}}$ = frekuensi kelas yang memuat kuartil pertama ${Q_2}$.

\[\boxed{{Q_3} = {L_3} + \left( {\frac{{\frac{3}{4}n - {{\left( {\sum f } \right)}_3}}}{{{f_3}}}} \right)c}\]

dengan:

• ${L_3}$ = tepi bawah kelas yang memuat kuartil ketiga ${Q_3}$.
• ${{{\left( {\sum f } \right)}_3}}$ = jumlah frekuensi sebelum kuartil pertama ${Q_3}$.
• ${{f_3}}$ = frekuensi kelas yang memuat kuartil pertama ${Q_3}$.

Contoh 2

Tentukan nilai kuartil pertama $\left( {{Q_1}} \right)$, kuartil kedua $\left( {{Q_2}} \right)$, dan kuartil ketiga $\left( {{Q_3}} \right)$ dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok berikut:

Hasil Pengukuran (mm)	Frekuensi $\left( {{f_i}} \right)$
$119-127$	$3$
$128-136$	$6$
$137-145$	$10$
$146-154$	$11$
$155-163$	$5$
$164-172$	$3$
$173-181$	$2$

Jawab

Dari tabel di atas diperoleh:

1. $\frac{1}{4}n = \frac{1}{4}.40 = 10$, ${L_1} = 136,5$, ${\left( {\sum f } \right)_1} = 9$, ${f_1} = 10$, dan $c=9$.

Jadi, kuartil pertama adalah:

$\begin{array}{l} {Q_1} &= {L_1} + \left( {\frac{{\frac{1}{4}n - {{\left( {\sum f } \right)}_1}}}{{{f_1}}}} \right)c\\ &= 136,5 + \left( {\frac{{10 - 9}}{{10}}} \right).9\\ &= 136,5 + \left( {\frac{1}{{10}}} \right).9\\ &= 137,4 \end{array}$
2. $\frac{2}{4}n = \frac{2}{4}.40 = 20$, ${L_2} = 145,5$, ${\left( {\sum f } \right)_2} = 19$, ${f_2} = 9$, dan $c=9$.

Jadi, kuartil kedua adalah:

$\begin{array}{l} {Q_2} &= {L_2} + \left( {\frac{{\frac{2}{4}n - {{\left( {\sum f } \right)}_2}}}{{{f_2}}}} \right)c\\ &= 145,5 + \left( {\frac{{20 - 19}}{9}} \right).9\\ &= 145,5 + \left( {\frac{1}{9}} \right).9\\ &= 146,5 \end{array}$
3. $\frac{3}{4}n = \frac{3}{4}.40 = 30$, ${L_3} = 154,5$, ${\left( {\sum f } \right)_3} = 28$, ${f_3} = 7$, dan $c=9$.

Jadi, kuartil ketiga adalah:

$\begin{array}{l} {Q_3} &= {L_3} + \left( {\frac{{\frac{3}{4}n - {{\left( {\sum f } \right)}_3}}}{{{f_3}}}} \right)c\\ &= 154,5 + \left( {\frac{{30 - 28}}{7}} \right).9\\ &= 154,5 + \left( {\frac{2}{7}} \right).9\\ &= 157,1 \end{array}$

Menentukan Desil

Data Tunggal

Untuk statistik jajaran dengan ukuran $n>10$, dapat ditentukan $9$ buah nilai yang mambagi statistik jajaran menjadi $10$ bagian yang sama. Kesembilan buah nilai tersebut disebut sebagai Desil.

• Desil pertama $\left( {{D_1}} \right)$, mempartisi data menjadi $\frac{1}{{10}}$ bagian dan $\frac{9}{{10}}$ bagian.
• Desil kedua $\left( {{D_2}} \right)$, mempartisi data menjadi $\frac{2}{{10}}$ bagian dan $\frac{8}{{10}}$ bagian.
• Desil ketiga $\left( {{D_3}} \right)$, mempartisi data menjadi $\frac{3}{{10}}$ bagian dan $\frac{7}{{10}}$ bagian. Demikian seterusnya
• Desil kesembilan $\left( {{D_9}} \right)$, mempartisi data menjadi $\frac{9}{{10}}$ bagian dan $\frac{1}{{10}}$ bagian.

Jika suatu data telah dinyatakan dalam bentuk statistik jajaran, maka desil ke-$i$ ditetapkan terletak pada nilai urutan ke- $\boxed{\frac{{i\left( {n + 1} \right)}}{{10}}}$, dengan $i = 1,2,3, \cdots ,9$ dan $n$ adalah ukuran data.

Jika nilai urutan yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung desil diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika desil terletak pada nilai urutan antara $k$ dan $k+1$ dan $d$ adalah bagian desimal dari nilai urutan tersebut maka nilai desilnya adalah : $\boxed{{D_k} = {x_k} + d\left( {{x_{k + 1}} - {x_k}} \right)}$.

Contoh 3

Diketahui suatu data $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15$. Tentukan desil pertama dan desil ke-$5$.

Jawab

Data disajikan dalam bentuk statistik jajaran sebagai berikut:

$\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&{10}&{11}&{12}&{13}&{14}&{15}\\ \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}&{{x_4}}&{{x_5}}&{{x_6}}&{{x_7}}&{{x_8}}&{{x_9}}&{{x_{10}}}&{{x_{11}}}&{{x_{12}}}&{{x_{13}}}&{{x_{14}}}&{{x_{15}}} \end{array}$

Perhatikan bahwa ukuran data $n=15$.

• Desil pertama $\left( {{D_1}} \right)$ terletak pada nilai urutan yang ke-$\frac{{1\left( {15 + 1} \right)}}{{10}} = 1,6$. oleh karena nilai urutan bukan bilangan asli, maka $\left( {{D_1}} \right)$ ditentukan dengan interpolasi linear. Perhatikan bahwa urutan yang besarnya $1,6$ nilainya terletak antara $1$ dan $2$ sehingga $k=1$ dan $k+1=2$. Sementara bagian desimalnya $d=0,6$.
$\begin{array}{l} {D_k} &= {x_k} + d\left( {{x_{k + 1}} - {x_k}} \right)\\ {D_1} &= {x_1} + 0,6\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\ &= 1 + 0,6\left( {2 - 1} \right)\\ &= 1 + 0,6\\ &= 1,6 \end{array}$

Jadi, desil pertama ${D_1} = 1,6$.

• Desil kelima $\left( {{D_5}} \right)$ terletak pada nilai urutan yang ke-$\frac{{5\left( {15 + 1} \right)}}{{10}} = 8$. oleh karena nilai urutan merupakan bilangan asli, maka $\left( {{D_5}} \right)$ tidak perlu interpolasi linear.
${D_5} = {x_8} = 8$

Jadi, desil kelima ${D_5} = 8$.

Data Berkelompok

Desil dari suatu dapat yang telah dikelompokkan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut ini

\[\boxed{{D_i} = {L_i} + \left( {\frac{{\frac{i}{{10}}n - {{\left( {\sum f } \right)}_i}}}{{{f_i}}}} \right)c}\]

dengan:

• ${L_i}$ = tepi bawah kelas yang memuat desil ke-$i$.
• ${{{\left( {\sum f } \right)}_i}}$ = jumlah frekuensi sebelum desil ke-$i$.
• ${{f_i}}$ = frekuensi kelas yang memuat desil ke-$i$.
• $n$ = ukuran data.
• $c$ = panjang kelas.

Contoh 4

Tentukan nilai desil pertama $\left( {{D_1}} \right)$ dan desil ketujuh $\left( {{D_7}} \right)$ dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok berikut:

Hasil Pengukuran (mm)	Frekuensi $\left( {{f_i}} \right)$
$119-127$	$3$
$128-136$	$6$
$137-145$	$10$
$146-154$	$11$
$155-163$	$5$
$164-172$	$3$
$173-181$	$2$

Jawab

• Desil pertama ${D_1}$ terletak pada urutan ke $\frac{{1\left( {40 + 1} \right)}}{{10}} = 4,1$. Jadi desil pertama terletak pada kelas kedua dengan tepi bawah ${L_1} = 128 - 0,5 = 127,5$. Berdasarkan tabel di atas diperoleh ${\left( {\sum f } \right)_1} = 3$, ${f_1} = 6$, dan $c=9$.

Jadi, desil pertama adalah

$\begin{array}{l} {D_1} &= {L_1} + \left( {\frac{{\frac{1}{{10}}n - {{\left( {\sum f } \right)}_1}}}{{{f_1}}}} \right)c\\ &= 127,5 + \left( {\frac{{\frac{1}{{10}}.40 - 3}}{6}} \right)9\\ &= 127,5 + \left( {\frac{{4 - 3}}{6}} \right)9\\ &= 127,5 + \left( {\frac{1}{6}} \right)9\\ &= 129 \end{array}$
• Desil ketujuh ${D_7}$ terletak pada urutan ke $\frac{{7\left( {40 + 1} \right)}}{{10}} = 28,7$. Jadi desil ketujuh terletak pada kelas keempat dengan tepi bawah ${L_7} = 146 - 0,5 = 145,5$. Berdasarkan tabel di atas diperoleh ${\left( {\sum f } \right)_7} = 19$, ${f_7} = 11$, dan $c=9$.

Jadi, desil ketujuh adalah

$\begin{array}{l} {D_7} &= {L_7} + \left( {\frac{{\frac{7}{{10}}n - {{\left( {\sum f } \right)}_7}}}{{{f_7}}}} \right)c\\ &= 145,5 + \left( {\frac{{\frac{7}{{10}}.40 - 19}}{11}} \right)9\\ &= 145,5 + \left( {\frac{{28 - 19}}{11}} \right)9\\ &= 145,5 + \left( {\frac{9}{11}} \right)9\\ &= 152,86 \end{array}$

Menentukan Persentil

Data Tunggal

Untuk statistik jajaran dengan ukuran $n>100$, dapat ditentukan $99$ buah nilai yang mambagi statistik jajaran menjadi $100$ bagian yang sama. Ke-99 buah nilai tersebut disebut sebagai Persentil.

• Persentil pertama $\left( {{P_1}} \right)$, mempartisi data menjadi $\frac{1}{{100}}$ bagian dan $\frac{99}{{100}}$ bagian.
• Persentil kedua $\left( {{P_2}} \right)$, mempartisi data menjadi $\frac{2}{{100}}$ bagian dan $\frac{98}{{100}}$ bagian.
• Persentil ketiga $\left( {{P_3}} \right)$, mempartisi data menjadi $\frac{3}{{100}}$ bagian dan $\frac{97}{{100}}$ bagian. Demikian seterusnya
• Persentil ke-$99$ $\left( {{P_{99}}} \right)$, mempartisi data menjadi $\frac{99}{{100}}$ bagian dan $\frac{1}{{100}}$ bagian.

Jika suatu data telah dinyatakan dalam bentuk statistik jajaran, maka persentil ke-$i$ ditetapkan terletak pada nilai urutan ke- $\boxed{\frac{{i\left( {n + 1} \right)}}{{100}}}$, dengan $i = 1,2,3, \cdots ,99$ dan $n$ adalah ukuran data.

Jika nilai urutan yang diperoleh bukan bilangan asli, maka untuk menghitung persentil diperlukan pendekatan interpolasi linear. Jika persentil terletak pada nilai urutan antara $k$ dan $k+1$ dan $d$ adalah bagian desimal dari nilai urutan tersebut maka nilai persentilnya adalah : $\boxed{{P_k} = {x_k} + d\left( {{x_{k + 1}} - {x_k}} \right)}$.

Contoh 5

Diketahui suatu data $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15$. Tentukan persentil ke-$10$ dan persentil ke-$50$.

Jawab

Data disajikan dalam bentuk statistik jajaran sebagai berikut:

$\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&{10}&{11}&{12}&{13}&{14}&{15}\\ \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}&{{x_4}}&{{x_5}}&{{x_6}}&{{x_7}}&{{x_8}}&{{x_9}}&{{x_{10}}}&{{x_{11}}}&{{x_{12}}}&{{x_{13}}}&{{x_{14}}}&{{x_{15}}} \end{array}$

Perhatikan bahwa ukuran data $n=15$.

• Persentil ke-$10$ $\left( {{P_{10}}} \right)$ terletak pada nilai urutan yang ke-$\frac{{10\left( {15 + 1} \right)}}{{100}} = 1,6$. oleh karena nilai urutan bukan bilangan asli, maka $\left( {{P_{10}}} \right)$ ditentukan dengan interpolasi linear. Perhatikan bahwa urutan yang besarnya $1,6$ nilainya terletak antara $1$ dan $2$ sehingga $k=1$ dan $k+1=2$. Sementara bagian desimalnya $d=0,6$.
$\begin{array}{l} {P_k} &= {x_k} + d\left( {{x_{k + 1}} - {x_k}} \right)\\ {P_{10}} &= {x_1} + 0,6\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\ &= 1 + 0,6\left( {2 - 1} \right)\\ &= 1 + 0,6\\ &= 1,6 \end{array}$

Jadi, persentil ke-$10$ ${P_{10}} = 1,6$.

• Persentil ke-$50$ $\left( {{P_{50}}} \right)$ terletak pada nilai urutan yang ke-$\frac{{50\left( {15 + 1} \right)}}{{100}} = 8$. oleh karena nilai urutan merupakan bilangan asli, maka $\left( {{P_{50}}} \right)$ tidak perlu interpolasi linear.
${P_{50}} = {x_8} = 8$

Jadi, persentil ke-$50$ ${P_{50}} = 8$.

Data Berkelompok

Persentil dari suatu dapat yang telah dikelompokkan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut ini

\[\boxed{{P_i} = {L_i} + \left( {\frac{{\frac{i}{{100}}n - {{\left( {\sum f } \right)}_i}}}{{{f_i}}}} \right)c}\]

dengan:

• ${L_i}$ = tepi bawah kelas yang memuat persentil ke-$i$.
• ${{{\left( {\sum f } \right)}_i}}$ = jumlah frekuensi sebelum persentil ke-$i$.
• ${{f_i}}$ = frekuensi kelas yang memuat persentil ke-$i$.
• $n$ = ukuran data.
• $c$ = panjang kelas.

Contoh 6

Tentukan nilai persentil ke-$10$ $\left( {{P_{10}}} \right)$ dan persentil ke-$70$ $\left( {{P_{70}}} \right)$ dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok berikut:

Hasil Pengukuran (mm)	Frekuensi $\left( {{f_i}} \right)$
$119-127$	$3$
$128-136$	$6$
$137-145$	$10$
$146-154$	$11$
$155-163$	$5$
$164-172$	$3$
$173-181$	$2$

Jawab

• Persentil ke-$10$ ${P_{10}}$ terletak pada urutan ke $\frac{{10\left( {40 + 1} \right)}}{{100}} = 4,1$. Jadi persentil ke-$10$ terletak pada kelas kedua dengan tepi bawah ${L_{10}} = 128 - 0,5 = 127,5$. Berdasarkan tabel di atas diperoleh ${\left( {\sum f } \right)_{10}} = 3$, ${f_{10}} = 6$, dan $c=9$.

Jadi, persentil ke-$10$ adalah

$\begin{array}{l} {P_{10}} &= {L_{10}} + \left( {\frac{{\frac{10}{{100}}n - {{\left( {\sum f } \right)}_{10}}}}{{{f_{10}}}}} \right)c\\ &= 127,5 + \left( {\frac{{\frac{10}{{100}}.40 - 3}}{6}} \right)9\\ &= 127,5 + \left( {\frac{{4 - 3}}{6}} \right)9\\ &= 127,5 + \left( {\frac{1}{6}} \right)9\\ &= 129 \end{array}$
• Persentil ke-$70$ ${P_{70}}$ terletak pada urutan ke $\frac{{70\left( {40 + 1} \right)}}{{10}} = 28,7$. Jadi persentil ke-$70$ terletak pada kelas keempat dengan tepi bawah ${L_{70}} = 146 - 0,5 = 145,5$. Berdasarkan tabel di atas diperoleh ${\left( {\sum f } \right)_{70}} = 19$, ${f_{70}} = 11$, dan $c=9$.

Jadi, persentil ke-$70$ adalah

$\begin{array}{l} {P_{70}} &= {L_{70}} + \left( {\frac{{\frac{70}{{100}}n - {{\left( {\sum f } \right)}_{70}}}}{{{f_{70}}}}} \right)c\\ &= 145,5 + \left( {\frac{{\frac{70}{{100}}.40 - 19}}{11}} \right)9\\ &= 145,5 + \left( {\frac{{28 - 19}}{11}} \right)9\\ &= 145,5 + \left( {\frac{9}{11}} \right)9\\ &= 152,86 \end{array}$