Kesebangunan pada Bangun Datar

Pengertian Kesebangunan

Kesebangunan pada bangun datar diartikan sebagai dua bangun atau lebih yang memiliki perbandingan panjang sisi bersesuaian yang sama dan sudut yang bersesuaian sama besar. Dengan melihat materi kekongruenan yang sudah dipelajari lebih dahulu dapat dikatakan bahwa bangun yang kongruen pasti sebangun, sedangkan bangun yang sebangun belum tentu kongruen.

Syarat Kesebangunan pada Bangun Datar

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

1. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Contoh Soal

Contoh 1

Dari dua persegi panjang berikut, tentukanlah kedua persegi panjang sebangun atau tidak?

Jawab

Untuk membuktikan kedua persegi panjang sebangun atau tidak, kita harus memeriksa dengan menggunakan syarat-syarat bangun sebangun yaitu:

1. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

1. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian senilai
• $\frac{\text{sisi AB}}{\text{sisi EF}}= \frac{12}{8}=\frac{3}{2}$
• $\frac{\text{sisi BC}}{\text{sisi FG}}= \frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
• $\frac{\text{sisi CD}}{\text{sisi GH}}= \frac{12}{8}=\frac{3}{2}$
• $\frac{\text{sisi AD}}{\text{sisi EH}}= \frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

Diperoleh perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian tidak sama, sehingga tidak memenuhi syarat yang pertama.

2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Sudut-sudut pada bangun persegi panjang adalah siku-siku atau $90^0$.

• $\angle{A}=\angle{E}=90^0$
• $\angle{B}=\angle{F}=90^0$
• $\angle{C}=\angle{G}=90^0$
• $\angle{D}=\angle{H}=90^0$

Diperoleh sudut-sudut yang bersesuai sama besar.

Karena ada salah satu syarat yang tidak terpenuhi yaitu perbandingan panjang sisi yang bersesuaian tidak sama, maka disimpulkan persegi panjang $ABCD$ tidak sebangun dengan persegi panjang $EFGH$.

Contoh 2

Perhatikan gambar berikut!

Bangun $ABCD$ dan $EFGH$ adalah sebangun. Tentukan:

1. Nilai $x$, $y$, dan $z$.
2. Panjang sisi $EF$, $BC$, dan $HG$.
3. Perbandingan luas $ABCD$ dengan $EFGH$.

Jawab

Bangun $ABCD$ dan $EFGH$ sebangun, maka berlaku:

• Perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai, sehingga diperoleh:
$\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FG}=\frac{CD}{GH}=\frac{AD}{EH}$
• Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, sehingga diperoleh:
$m\angle{A}=m\angle{E}$, $m\angle{B}=m\angle{F}$, $m\angle{C}=m\angle{G}$, $m\angle{D}=m\angle{H}$.

1. Nilai $x$, $y$, dan $z$.
   $\begin{array}{l} m\angle C = m\angle G\\ \Leftrightarrow m\angle G = m\angle C\\ \Leftrightarrow {x^o} = {22,6^o}\\ \therefore {x^o} = {22,6^o} \end{array}$
   $\begin{array}{l} m\angle D + m\angle C = {180^o}\\ \Leftrightarrow {y^o} + {22,6^o} = {180^o}\\ \Leftrightarrow {y^o} = {180^o} - {22,6^o}\\ \Leftrightarrow {y^o} = {157,4^o}\\ \therefore {y^o} = {157,4^o}\\ m\angle H = m\angle D\\ \Leftrightarrow {z^o} = {y^o}\\ \Leftrightarrow {z^o} = {157,4^o}\\ \therefore {z^o} = {157,4^o} \end{array}$
2. Panjang sisi $EF$, $BC$, dan $HG$.
   $\begin{array}{l} \frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{BC}}{{FG}} = \frac{{CD}}{{GH}} = \frac{{AD}}{{EH}}\\ \Leftrightarrow \frac{{16cm}}{{EF}} = \frac{{BC}}{{20cm}} = \frac{{CD}}{{GH}} = \frac{{20cm}}{{15cm}}\\ \frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{AD}}{{EH}}\\ \Leftrightarrow \frac{{16cm}}{{EF}} = \frac{{20cm}}{{15cm}}\\ \Leftrightarrow EF = \frac{{16cm \times 15cm}}{{20cm}}\\ \Leftrightarrow EF = 12cm\\ \therefore EF = 12cm\\ \frac{{BC}}{{FG}} = \frac{{AD}}{{EH}}\\ \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{20cm}} = \frac{{20cm}}{{15cm}}\\ \Leftrightarrow BC = \frac{{20cm \times 20cm}}{{15cm}}\\ \Leftrightarrow BC = 26\frac{2}{3}cm\\ \therefore BC = 26\frac{2}{3}cm \end{array}$

   Untuk menentukan panjang $HG$, langkah pertama adalah menentukan panjang $EF$

   $\begin{array}{l} \frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{AD}}{{EH}}\\ \Leftrightarrow \frac{{16cm}}{{EF}} = \frac{{20cm}}{{15cm}}\\ \Leftrightarrow EF = \frac{{16cm \times 15cm}}{{20cm}}\\ \Leftrightarrow EF = 12cm\\ \therefore EF = 12cm \end{array}$

   Dengan menggunakan rumus teorema Pythagoras diperoleh:

   $\begin{array}{l} HG = \sqrt {{{\left( {HH'} \right)}^2} + {{\left( {GH'} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow HG = \sqrt {E{F^2} + {{\left( {GH'} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow HG = \sqrt {{{12}^2} + {{\left( {20 - 15} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow HG = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} \\ \Leftrightarrow HG = \sqrt {144 + 25} \\ \Leftrightarrow HG = \sqrt {169} \\ \Leftrightarrow HG = 13\\ \therefore HG = 13cm \end{array}$
3. Perbandingan luas $ABCD$ dengan $EFGH$.
   $\begin{array}{l} \frac{{{L_{ABCD}}}}{{{L_{EFGH}}}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {BC + AD} \right) \times AB}}{{\frac{1}{2}\left( {FG + EH} \right) \times EF}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{L_{ABCD}}}}{{{L_{EFGH}}}} = \frac{{\bcancel{{\frac{1}{2}}}\left( {26\frac{2}{3} + 20} \right) \times 16}}{{\bcancel{{\frac{1}{2}}}\left( {20 + 15} \right) \times 12}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{L_{ABCD}}}}{{{L_{EFGH}}}} = \frac{{\left( {26\frac{2}{3} + 20} \right) \times 4}}{{\left( {20 + 15} \right) \times 3}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{L_{ABCD}}}}{{{L_{EFGH}}}} = \frac{{\left( {\frac{{80}}{3} + \frac{{60}}{3}} \right) \times 4}}{{35 \times 3}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{L_{ABCD}}}}{{{L_{EFGH}}}} = \frac{{\left( {\frac{{140}}{3}} \right) \times 4}}{{105}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{L_{ABCD}}}}{{{L_{EFGH}}}} = \frac{{\left( {\frac{{560}}{3}} \right)}}{{105}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{L_{ABCD}}}}{{{L_{EFGH}}}} = \frac{{560}}{{105 \times 3}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{L_{ABCD}}}}{{{L_{EFGH}}}} = \frac{{560}}{{315}} = \frac{{16}}{9}\\ \therefore \frac{{{L_{ABCD}}}}{{{L_{EFGH}}}} = \frac{{16}}{9} \end{array}$

Contoh 3

Sebuah foto diletakkan pada selembar karton yang berukuran $50cm$ x $40cm$, sebelum dipasang di piguran. Di bagian sisi kiri, kanan, atas, dan bawah foto diberi jarak seperti nampak pada gambar. Foto dan karton tersebut sebangun.

1. Berapa lebar karton di bagian bawah yang tidak tertutup oleh foto tersebut?
2. Berapa perbandingan luas foto dan luas karton?

Jawab

1. Karena foto dan photo sebangun, maka perbandingan panjang dan lebar yang seletak pada kedua bangun sama.
$\begin{array}{l} \frac{{{p_{photo}}}}{{{p_{karton}}}} &= \frac{{{l_{photo}}}}{{{l_{karton}}}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {50cm - 5cm - 5cm} \right)}}{{50cm}} &= \frac{{\left( {40cm - 3cm - a} \right)}}{{40cm}}\\ \Leftrightarrow \frac{{40\bcancel{{cm}}}}{{50\bcancel{{cm}}}} &= \frac{{37\bcancel{{cm}} - a}}{{40\bcancel{{cm}}}}\\ \Leftrightarrow \frac{{40}}{{50}} &= \frac{{37 - a}}{{40}}\\ \Leftrightarrow \frac{4}{5} &= \frac{{37 - a}}{{40}}\\ \Leftrightarrow 5\left( {37 - a} \right) &= 4 \times 40\\ \Leftrightarrow 185 - 5a &= 160\\ \Leftrightarrow - 5a &= 160 - 185\\ \Leftrightarrow - 5a &= - 25\\ \Leftrightarrow a &= \frac{{ - 25}}{{ - 5}}\\ \Leftrightarrow a &= 5 \end{array}$

Jadi lebar karton bagian bawah adalah $5cm$.

2. Perbandingan luas foto dan luas karton adalah sebagai berikut:
$\begin{array}{l} \frac{{{L_{photo}}}}{{{L_{karton}}}} &= \frac{{{p_{photo}} \times {l_{photo}}}}{{{p_{karton}} \times {p_{karton}}}}\\ &= \frac{{40cm \times \left( {40cm - 3cm - 5cm} \right)}}{{50cm \times 40cm}}\\ &= \frac{{40\bcancel{{cm}} \times 32\bcancel{{cm}}}}{{50\bcancel{{cm}} \times 40\bcancel{{cm}}}}\\ &= \frac{{\bcancel{{{{40}^4}}} \times \bcancel{{{{32}^4}}}}}{{\bcancel{{{{50}^5}}} \times {{\bcancel{{40}}}^5}}}\\ &= \frac{{4 \times 4}}{{5 \times 5}}\\ &= \frac{{16}}{{25}} \end{array}$

Jadi perbandingan luas foto dengan luas karton adalah $16:25$.