Logika Matematika : Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka

Pernyataan

Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Perhatikan kalimat-kalimat berikut.

1. Hadapilah orang itu!
2. Berapa umurmu sekarang?

Kalimat-kalimat di atas tidak menerangkan sesuatu (bukan kalimat deklaratif), sehingga kalimat-kalimat itu bukan pernyataan. Kalimat yang dapat digolongkan pernyataan adalah kalimat-kalimat yang menerangkan sesuatu (disebut kalimat deklaratif). Namun perlu diingat bahwa tidak semua kalimat deklaratif itu merupakan pernyataan. Perhatikan kalimat-kalimat deklaratif berikut ini.

1. Gunung itu tinggi.
2. Masakan itu enak.

Kalimat-kalimat di atas dapat benar saja atau salah saja, tetapi bersifat relatif (bergantung pada keadaan). Kalimat-kalimat tersebut juga bukan pernyataan.

Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak bisa sekaligus benar dan salah.

Lambang dan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan

Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti $a$, $b$, $c$, ... dan seterusnya. Sebagai contoh:

1. Pernyataan "4 adalah bilangan genap" dapat dilambangkan dengan memakai huruf $p$.

Ditulis: $p$: 4 adalah bilangan genap.

2. Pernyataan "Besi adalah benda cair" dapat dilambangkan dengan memakai huruf $q$.

Ditulis: $q$: Besi adalah benda cair.

Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai dasar empiris dan dasar tak-empiris.

1. Dasar Empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Sebagai contoh:

1. "Ibukota Jawa Tengah adalah Semarang", merupakan pernyataan yang benar.
2. "Udara adalah benda cair", adalah pernyataan yang salah.
2. Dasar Tak-Empiris, yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika.

Sebagai contoh:

1. "Akar persamaan $3x + 1 = 6$ adalah $\frac{5}{3}$", merupakan pernyataan yang benar.
2. "Jika $x > 2$, maka $2x < 0$", adalah pernyataan yang salah.

Untuk pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran $B$ (benar), sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran $S$ (salah). Nilai kebenaran dilambangkan dengan menggunakan huruf Yunani $\tau $ (dibaca: tau). Sebagai contoh:

1. $\tau \left( p \right) = B$ dibaca "nilai kebenaran pernyataan $p$ adalah $B$ (benar)" atau "pernyataan $p$ mempunyai nilai kebenaran $B$".
2. $q$: Bumi adalah planet urutan kelima dalam tata surya" merupakan pernyataan yang salah, dan ditulis $\tau \left( q \right) = S$.

Kalimat Terbuka

Untuk memahami pengertian kalimat terbuka, perhatikan beberapa contoh kalimat berikut.

1. $2x + 7 = 6$
2. ${y^2} \le 4$
3. Kota itu adalah ibukota Inggris.

Kalimat-kalimat di atas belum dapat dinyatakan benar atau salah sebelum ditetapkan nilai $x$, $y$, dan $itu$. Kalimat-kalimat yang berciri seperti itu dinamakan kalimat terbuka, sedangkan $x$, $y$, dan $itu$ disebut sebagai variabel/peubah. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel/peubah, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).

Sekarang perhatikan kalimat terbuka $2x + 7 = 6$. Misalkan semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan real $\Re $. Nilai $x \in \Re $ pada kalimat terbuka $2x + 7 = 6$ dapat diganti sehingga kalimat terbuka tersebut menjadi sebuah pernyataan. Nilai kebenaran pernyataan yang diperoleh bergantung pada nilai $x$ yang digantikan (disubstitusikan). Sebagai contoh:

1. Jika $x$ diganti $3$, diperoleh $2\left( 3 \right) + 7 = 6$ merupakan pernyataan yang salah.
2. Jika $x$ diganti $ - \frac{1}{2}$, diperoleh $2\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 7 = 6$ merupakan pernyataan yang benar.

Nilai pengganti $x = - \frac{1}{2}$ mengubah kalimat terbuka $2x + 7 = 6$ menjadi pernyataan yang benar. Nilai $x = - \frac{1}{2}$ disebut penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut. Himpunan yang anggota-anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian.

Berdasarkan uraian di atas, dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut.

1. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya.
2. Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.
3. Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan anggota-anggota merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut.