Fungsi Invers

Pengertian Fungsi Invers

Misalkan fungsi $f$ memetakan unsur $a \in A$ ke $b \in B$, sehingga fungsi $f$ dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan berurutan:

\[\boxed{f = \left\{ {\left( {a,b} \right)|a \in A \wedge b \in B} \right\}}\]

Pemetaan $b \in B$ ke $a \in A$ diperoleh dengan cara menukarkan atau membalik pasangan terurut $\left( {a,b} \right) \in f$ menjadi $\left( {b,a} \right)$. Pasangan terurut $\left( {b,a} \right)$ ini adalah unsur dari invers fungsi $f$. Jika invers dari fungsi $f$ itu dilambangkan dengan ${f^{ - 1}}$, maka:

\[\boxed{{f^{ - 1}} = \left\{ {\left( {b,a} \right)|b \in B \wedge a \in A} \right\}}\]

Diagram pemetaan fungsi $f$ dan invers $f$ $\left( {{f^{ - 1}}} \right)$ diperlihatkan pada gambar berikut:

Berdasarkan deskripsi di atas, invers suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut:

Definisi:

Jika fungsi $f:A \to B$ dinyatakan dengan pasangan terurut $f = \left\{ {\left( {a,b} \right)|a \in A \wedge b \in B} \right\}$ maka invers fungsi $f$ adalah ${f^{ - 1}}:B \to A$ ditentukan oleh ${f^{ - 1}} = \left\{ {\left( {b,a} \right)|b \in B \wedge a \in A} \right\}$

Perlu dicatat bahwa hasil invers suatu fungsi belum tentu berupa fungsi, tetapi dapat saja merupakan hubungan atau relasi biasa. Jika invers dari suatu fungsi merupakan fungsi pula, maka invers fungsi yang demikian disebut fungsi invers.

Suatu fungsi $f:A \to B$ mempunyai fungsi invers ${f^{ - 1}}:B \to A$ jika dan hanya jika $f$ merupakan fungsi bijektif atau himpunan $A$ dan himpunan $B$ berada dalam korespondensi satu-satu.

Menentukan Rumus Fungsi Invers

Misalkan $f$ adalah sebuah fungsi bijektif, maka invers fungsi $f$ adalah fungsi invers ${f^{ - 1}}$. Dalam bahasa pemetaan, pernyataan itu dapat diungkapkan sebagai berikut.

Definisi:

Misalkan $f$ adalah sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal ${D_f}$ dan wilayah hasil ${W_f}$. Fungsi ${f^{ - 1}}$ adalah invers dari fungsi $f$, jika dan hanya jika $\left( {{f^{ - 1}} \circ f} \right)\left( x \right) = x = I\left( x \right)$ untuk $x \in {D_f}$ dan $\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right) = x = I\left( x \right)$ untuk $x \in {W_f}$.

Dengan demikian, untuk memeriksa apakah sebuah fungsi (misalkan fungsi $g\left( x \right)$) adalah fungsi invers dari fungsi $f$ maka cukup ditunjukkan bahwa $\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = x = I\left( x \right)$ dan $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = x = I\left( x \right)$.

Contoh 1

Diketahui fungsi $f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 2}}$ dan fungsi $g\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}$. Selidikilah apakah $f\left( x \right)$ merupakan invers dari fungsi $g\left( x \right)$ dan sebaliknya.

Jawab

$\begin{array}{l} \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) &= g\left( {f\left( x \right)} \right)\\ &= g\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)\\ &= \frac{{2\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right) + 1}}{{\left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)}}\\ &= \frac{{\frac{2}{{x - 2}} + \frac{{x - 2}}{{x - 2}}}}{{\frac{1}{{x - 2}}}}\\ &= \frac{{2 + x - 2}}{1}\\ &= x\\ &= I\left( x \right) \end{array}$
$\begin{array}{l} \left( {f \circ g} \right)\left( x \right) &= f\left( {g\left( x \right)} \right)\\ &= f\left( {\frac{{2x + 1}}{x}} \right)\\ &= \frac{1}{{\left( {\frac{{2x + 1}}{x}} \right) - 2}}\\ &= \frac{{\frac{x}{x}}}{{\frac{{2x + 1}}{x} - \frac{{2x}}{x}}}\\ &= \frac{x}{1}\\ &= x\\ &= I\left( x \right) \end{array}$

Karena $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = x = I\left( x \right)$ maka $g\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}$ adalah fungsi invers dari $f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 2}}$ dan sebaliknya.

Rumus Fungsi Invers

Misalkan fungsi $f$ adalah sebuah fungsi bijektif yang diketahui, akan ditentukan fungsi invers dari $f$. Anggota $y \in {W_f}$ adalah peta dari $x \in {D_f}$, sehingga rumus untuk fungsi $f$ adalah:

\[y = f\left( x \right)\]

Jika ${f^{ - 1}}$ adalah fungsi invers dari $f$, maka $x \in {W_{{f^{ - 1}}}}$ adalah peta dari $y \in {D_{{f^{ - 1}}}}$, sehingga rumus untuk fungsi ${f^{ - 1}}$ adalah:

\[x = {f^{ - 1}}\left( y \right)\]

Rumus $x = {f^{ - 1}}\left( y \right)$ diperoleh dengan cara mengubah rumus $y = f\left( x \right)$ menjadi $x$ sebagai fungsi $y$. Misalkan $x$ sebagai fungsi $y$ ini adalah $x = {f^{ - 1}}\left( y \right) = g\left( y \right)$. Selanjutnya gantilah peubah $x$ dengan peubah $y$ dan peubah $y$ dengan peubah $x$, sehingga diperoleh:

\[y = {f^{ - 1}}\left( x \right) = g\left( x \right)\]

Rumus $y = {f^{ - 1}}\left( x \right) = g\left( x \right)$ ini adalah rumus fungsi invers dari fungsi $f$.

Contoh 2

Tentukan fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut ini.

1. $f\left( x \right) = 3x - 4$
2. $f\left( x \right) = 64{x^3}$
3. $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 7$

Jawab

1. $f\left( x \right) = 3x - 4$
$\begin{array}{l} f\left( x \right) &= 3x - 4\\ \Leftrightarrow y &= 3x - 4\\ \Leftrightarrow 3x &= y + 4\\ \Leftrightarrow x &= \frac{{y + 4}}{3}\\ \Leftrightarrow x &= \frac{1}{3}y + \frac{4}{3} \end{array}$

Dengan mengganti variabel $x$ dengan $y$ dan sebaliknya diperoleh:

$y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$

Jadi, fungsi invers dari $f\left( x \right) = 3x - 4$ adalah ${f^{ - 1}}\left( x \right) = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$.

2. $f\left( x \right) = 64{x^3}$
$\begin{array}{l} f\left( x \right) &= 64{x^3}\\ \Leftrightarrow y &= 64{x^3}\\ \Leftrightarrow 64{x^3} &= y\\ \Leftrightarrow {x^3} &= \frac{y}{{64}}\\ \Leftrightarrow x &= \sqrt[3]{{\frac{y}{{64}}}}\\ \Leftrightarrow x &= \frac{1}{4}\sqrt[3]{y} \end{array}$

Dengan mengganti variabel $x$ dengan $y$ dan sebaliknya diperoleh:

$y = \frac{1}{4}\sqrt[3]{x}$

Jadi, fungsi invers dari $f\left( x \right) = 64{x^3}$ adalah ${f^{ - 1}}\left( x \right) = \frac{1}{4}\sqrt[3]{x}$.

3. $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 7$
$\begin{array}{l} f\left( x \right) &= {x^2} - 4x + 7\\ \Leftrightarrow y &= {x^2} - 4x + 7\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 7 &= y\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 7 - 3 &= y - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 &= y - 3\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} &= y - 3\\ \Leftrightarrow x - 2 &= \pm \sqrt {y - 3} \\ \Leftrightarrow x &= 2 \pm \sqrt {y - 3} \\ \Leftrightarrow x = 2 + \sqrt {y - 3} &\vee x = 2 - \sqrt {y - 3} \end{array}$

Dengan mengganti variabel $x$ dengan $y$ dan sebaliknya diperoleh:

$y = 2 + \sqrt {x - 3} \vee y = 2 - \sqrt {x - 3} $

Jadi, fungsi invers dari $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 7$ adalah:

• ${f^{ - 1}}\left( x \right) = 2 + \sqrt {x - 3} $ untuk ${D_f} = \left\{ {x|x \ge 2,x \in \Re } \right\}$.
• ${f^{ - 1}}\left( x \right) = 2 - \sqrt {x - 3} $ untuk ${D_f} = \left\{ {x|x \le 2,x \in \Re } \right\}$.

Fungsi Invers dari Suatu Fungsi Komposisi

Misalkan fungsi $f$ dan fungsi $g$ masing-masing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers ${f^{ - 1}}$ dan ${g^{ - 1}}$. Fungsi komposisi $\left( {f \circ g} \right)$ pemetaan pertama ditentukan oleh fungsi $g$ dan pemetaan kedua ditentukan oleh fungsi $f$. Mula-mula $x$ oleh fungsi $g$ dipetakan ke $y$, kemudian $y$ dipetakan ke $z$. Sedangkan fungsi ${\left( {f \circ g} \right)^{ - 1}}$, mula-mula $z$ dipetakan oleh ${f^{ - 1}}$ ke $y$, kemudian $y$ dipetakan oleh ${g^{ - 1}}$ ke $x$.

Berdasarkan uraian di atas maka ${\left( {f \circ g} \right)^{ - 1}}$ dapat dinyatakan sebagai komposisi dari ${f^{ - 1}}\left( x \right)$ (bertindak sebagai pemetaan pertama) dan ${g^{ - 1}}\left( x \right)$ (bertindak sebagai pemetaan kedua). Sesuai dengan aturan komposisi, pemetaan berantai seperti itu ditulis sebagai $\left( {{g^{ - 1}} \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right)$. Dengan demikian, diperoleh hubungan:

\[\boxed{{\left( {f \circ g} \right)^{ - 1}}\left( x \right) = \left( {{g^{ - 1}} \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right)}\]

Dengan menggunakan analisis yang sama, dapat ditunjukkan bahwa fungsi invers dari fungsi komposisi $\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)$ ditentukan oleh:

\[\boxed{{\left( {g \circ f} \right)^{ - 1}}\left( x \right) = \left( {{f^{ - 1}} \circ {g^{ - 1}}} \right)\left( x \right)}\]

COntoh 3

Fungsi $f$ dan fungsi $g$ masing-masing adalah fungsi bijektif dengan fungsi inversnya adalah ${f^{ - 1}}\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}$ dan ${g^{ - 1}}\left( x \right) = 2\sqrt x $. Hitunglah nilai dari:

1. ${\left( {f \circ g} \right)^{ - 1}}\left( {\frac{{10}}{9}} \right)$
2. ${\left( {g \circ f} \right)^{ - 1}}\left( 7 \right)$

Jawab

1. ${\left( {f \circ g} \right)^{ - 1}}\left( {\frac{{10}}{9}} \right)$
$\begin{array}{l} {\left( {f \circ g} \right)^{ - 1}}\left( {\frac{{10}}{9}} \right) &= \left( {{g^{ - 1}} \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( {\frac{{10}}{9}} \right)\\ &= {g^{ - 1}}\left( {{f^{ - 1}}\left( {\frac{{10}}{9}} \right)} \right)\\ &= {g^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\frac{{10}}{9} - 1}}} \right)\\ &= {g^{ - 1}}\left( 9 \right)\\ &= 2\sqrt 9 \\ &= 2.3\\ &= 6 \end{array}$

Jadi, nilai dari ${\left( {f \circ g} \right)^{ - 1}}\left( {\frac{{10}}{9}} \right) = 6$.

2. ${\left( {g \circ f} \right)^{ - 1}}\left( 7 \right)$
$\begin{array}{l} {\left( {g \circ f} \right)^{ - 1}}\left( 7 \right) &= \left( {{f^{ - 1}} \circ {g^{ - 1}}} \right)\left( 7 \right)\\ &= {f^{ - 1}}\left( {{g^{ - 1}}\left( 7 \right)} \right)\\ &= {f^{ - 1}}\left( {2\sqrt 7 } \right)\\ &= \frac{1}{{2\sqrt 7 - 1}}\\ &= \frac{1}{{2\sqrt 7 - 1}} \times \frac{{2\sqrt 7 + 1}}{{2\sqrt 7 + 1}}\\ &= \frac{1}{{27}}\left( {2\sqrt 7 + 1} \right) \end{array}$

Jadi, nilai dari ${\left( {g \circ f} \right)^{ - 1}}\left( 7 \right) = \frac{1}{{27}}\left( {2\sqrt 7 + 1} \right)$.