Aljabar Fungsi dan Fungsi Komposisi

Aljabar Fungsi

Secara aljabar, fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut:

Definisi

Misalkan fungsi $f\left( x \right)$ dan fungsi $g\left( x \right)$ masing-masing dengan daerah asal ${D_f}$ dan ${D_g}$, maka:

• Jumlah fungsi $f\left( x \right)$ dan fungsi $g\left( x \right)$ adalah $\left( {f + g} \right)\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ dengan daerah asal ${D_{f + g}} = {D_f} \cap {D_g}$.
• Selisih fungsi $f\left( x \right)$ dan fungsi $g\left( x \right)$ adalah $\left( {f - g} \right)\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$ dengan daerah asal ${D_{f - g}} = {D_f} \cap {D_g}$.
• Perkalian fungsi $f\left( x \right)$ dan fungsi $g\left( x \right)$ adalah $\left( {f . g} \right)\left( x \right) = f\left( x \right) . g\left( x \right)$ dengan daerah asal ${D_{f . g}} = {D_f} \cap {D_g}$.
• Pembagian fungsi $f\left( x \right)$ dan fungsi $g\left( x \right)$ adalah $\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ dengan daerah asal ${D_{\frac{f}{g}}} = {D_f} \cap {D_g}$ dan $g\left( x \right) \ne 0$.

Contoh 1

Diketahui fungsi-fungsi $f$ dan $g$ masing-masing ditentukan dengan rumus $f\left( x \right) = \sqrt {x + 4} $ dan $g\left( x \right) = \sqrt {25 - {x^2}} $. Tentukan fungsi-fungsi berikut ini serta daerah asalnya.

1. $\left( {f + g} \right)\left( x \right)$
2. $\left( {f - g} \right)\left( x \right)$
3. $\left( {f . g} \right)\left( x \right)$
4. $\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right)$

Jawab

Daerah asal fungsi $f\left( x \right) = \sqrt {x + 4} $ adalah ${D_f} = \left\{ {x|x \ge - 4,x \in \Re } \right\}$ dan daerah asal fungsi $g\left( x \right) = \sqrt {25 - {x^2}} $ adalah ${D_g} = \left\{ {x| - 5 \le x \le 5,x \in \Re } \right\}$.

1. $\left( {f + g} \right)\left( x \right)$
$\begin{array}{l} \left( {f + g} \right)\left( x \right) &= f\left( x \right) + g\left( x \right)\\ &= \sqrt {x + 4} + \sqrt {25 - {x^2}} \end{array}$

Daerah asal fungsi $\left( {f + g} \right)\left( x \right)$:

$\begin{array}{l} {D_{f + g}} &= \left\{ {x|x \ge - 4,x \in \Re } \right\} \cap \left\{ {x| - 5 \le x \le 5,x \in \Re } \right\}\\ &= \left\{ {x| - 4 \le x \le 5,x \in \Re } \right\} \end{array}$

Jadi, $\left( {f + g} \right)\left( x \right) = \sqrt {x + 4} + \sqrt {16 - {x^2}} $ dengan daerah asal ${D_{f + g}} = \left\{ {x| - 4 \le x \le 5,x \in \Re } \right\}$.

2. $\left( {f - g} \right)\left( x \right)$
$\begin{array}{l} \left( {f - g} \right)\left( x \right) &= f\left( x \right) - g\left( x \right)\\ &= \sqrt {x + 4} - \sqrt {25 - {x^2}} \end{array}$

Daerah asal fungsi $\left( {f - g} \right)\left( x \right)$:

$\begin{array}{l} {D_{f - g}} &= \left\{ {x|x \ge - 4,x \in \Re } \right\} \cap \left\{ {x| - 5 \le x \le 5,x \in \Re } \right\}\\ &= \left\{ {x| - 4 \le x \le 5,x \in \Re } \right\} \end{array}$

Jadi, $\left( {f - g} \right)\left( x \right) = \sqrt {x + 4} - \sqrt {16 - {x^2}} $ dengan daerah asal ${D_{f - g}} = \left\{ {x| - 4 \le x \le 5,x \in \Re } \right\}$.

3. $\left( {f . g} \right)\left( x \right)$
$\begin{array}{l} \left( {f.g} \right)\left( x \right) &= f\left( x \right).g\left( x \right)\\ &= \sqrt {x + 4} .\sqrt {25 - {x^2}} \\ &= \sqrt {\left( {x + 4} \right)\left( {25 - {x^2}} \right)} \end{array}$

Daerah asal fungsi $\left( {f . g} \right)\left( x \right)$:

$\begin{array}{l} {D_{f . g}} &= \left\{ {x|x \ge - 4,x \in \Re } \right\} \cap \left\{ {x| - 5 \le x \le 5,x \in \Re } \right\}\\ &= \left\{ {x| - 4 \le x \le 5,x \in \Re } \right\} \end{array}$

Jadi, $\left( {f.g} \right)\left( x \right) = \sqrt {\left( {x + 4} \right)\left( {25 - {x^2}} \right)} $ dengan daerah asal ${D_{f . g}} = \left\{ {x| - 4 \le x \le 5,x \in \Re } \right\}$.

4. $\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right)$
$\begin{array}{l} \left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right) &= \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\\ &= \frac{{\sqrt {x + 4} }}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\\ &= \sqrt {\frac{{x + 4}}{{25 - {x^2}}}} \end{array}$

Daerah asal fungsi $\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right)$:

$\begin{array}{l} {D_{\frac{f}{g}}} &= \left\{ {x|x \ge - 4,x \in \Re } \right\} \cap \left\{ {x| - 5 < x < 5,x \in \Re } \right\}\\ {D_{\frac{f}{g}}} &= \left\{ {x| - 4 \le x < 5,x \in \Re } \right\} \end{array}$

Jadi, $\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right) = \sqrt {\frac{{x + 4}}{{25 - {x^2}}}} $ dengan daerah asal ${D_{\frac{f}{g}}} = \left\{ {x| - 4 \le x < 5,x \in \Re } \right\}$.

Fungsi Komposisi

Misalkan diketahui fungsi-fungsi $f\left( x \right)$ dan $g\left( x \right)$. Dari dua fungsi itu dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan operasi komposisi. Operasi komposisi dilambangkan dengan $ \circ $ (dibaca : komposisi atau bundaran). Fungsi baru yang dapat dibentuk dengan operasi komposisi itu ada dua macam, yaitu:

1. $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ dibaca $f$ komposisi $g$ atau $f$ bundaran $g$
2. $\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)$ dibaca $g$ komposisi $f$ atau $g$ bundaran $f$

Komposisi fungsi $f\left( x \right)$ dan fungsi $g\left( x \right)$, baik yang disusun dengan menggunakan aturan $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ atau $\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)$ disebut fungsi komposisi atau fungsi majemuk.

Pengertian Fungsi komposisi

untuk memahami komposisi pada fungsi, perhatikan gambar berikut.

Perhatikan urutan langkah-langkahnya. Fungsi $g$ memetakan $x$ menjadi $g\left( x \right)$, kemudian fungsi $f$ mengolah $g\left( x \right)$ menjadi $f\left( {g\left( x \right)} \right)$. Fungsi $f\left( {g\left( x \right)} \right)$ ini adalah komposisi fungsi $g$ dan fungsi $f$ disebut sebagai fungsi komposisi yang dilambangkan oleh $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ dengan $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right)$. Dengan menggunakan analisis yang sama, komposisi fungsi $f$ dan fungsi $g$ adalah fungsi komposisi $\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)$ dengan $\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right)$.

Rumus Fungsi Komposisi

Definisi:

Misalkan diketahui fungsi-fungsi:

• $g:A \to B$ ditentukan dengan rumus $g\left( x \right)$.
• $f:B \to C$ ditentukan dengan rumus $f\left( x \right)$.

maka komposisi dari fungsi $g$ dan fungsi $f$ ditentukan oleh rumus fungsi komposisi

$\boxed{\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right)}$

Agar fungsi komposisi $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ ada atau terdefinisi, maka $\left( {{W_g} \cap {D_f}} \right) \ne \emptyset $. ${{W_g} \cap {D_f}}$ inilah yang menentukan daerah asal $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ atau ${D_{f \circ g}}$ serta wilayah hasil $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ atau ${W_{f \circ g}}$. Dengan demikian, ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membentuk fungsi komposisi $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$, yaitu:

1. Syarat agar fungsi $g$ dan fungsi $f$ dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $\left( {f \circ g} \right)$ adalah irisan atau interseksi antara wilayah hasil fungsi $g$ dengan daerah asal fungsi $f$ bukan himpunan kosong.
\[\left( {{W_g} \cap {D_f}} \right) \ne \emptyset \]
2. Daerah asal fungsi komposisi $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ ditentukan oleh ${{W_g} \cap {D_f}}$. Pada umumnya daerah asal $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ adalah himpunan bagian dari daerah asal fungsi $g$.
\[{D_{f \circ g}} \subseteq {D_g} \]
3. Wilayah hasil fungsi komposisi $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ juga ditentukan oleh ${{W_g} \cap {D_f}}$. Pada umumnya wilayah hasil $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ adalah himpunan bagian dari wilayah hasil fungsi $f$.
\[{W_{f \circ g}} \subseteq {W_f}\]

Definisi:

Misalkan diketahui fungsi-fungsi:

• $f:A \to B$ ditentukan dengan rumus $f\left( x \right)$.
• $g:B \to C$ ditentukan dengan rumus $g\left( x \right)$.

maka komposisi dari fungsi $f$ dan fungsi $g$ ditentukan oleh rumus fungsi komposisi

$\boxed{\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right)}$

Contoh 2

Diketahui fungsi $f:\Re \to \Re $ dengan $f\left( x \right) = 2x + 3$ dan fungsi $g:\Re \to \Re $ dengan $g\left( x \right) = {x^2} + 2$. Tentukan:

1. $\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)$
2. $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$
3. $\left( {g \circ f} \right)\left( 3 \right)$
4. $\left( {f \circ g} \right)\left( -2 \right)$

Jawab

$\begin{array}{l} \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) &= g\left( {f\left( x \right)} \right)\\ &= g\left( {2x + 3} \right)\\ &= {\left( {2x + 3} \right)^2} + 2\\ &= \left( {4{x^2} + 12x + 9} \right) + 2\\ &= 4{x^2} + 12x + 11 \end{array}$

Jadi, $\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = 4{x^2} + 12x + 11$.

$\begin{array}{l} \left( {f \circ g} \right)\left( x \right) &= f\left( {g\left( x \right)} \right)\\ &= f\left( {{x^2} + 2} \right)\\ &= 2\left( {{x^2} + 2} \right) + 3\\ &= \left( {2{x^2} + 4} \right) + 3\\ &= 2{x^2} + 7 \end{array}$

Jadi, $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = 2{x^2} + 7$.

3. $\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = 4{x^2} + 12x + 11$
$\begin{array}{l} \left( {g \circ f} \right)\left( 3 \right) &= {4.3^2} + 12.3 + 11\\ &= 36 + 36 + 11\\ &= 83 \end{array}$

Jadi, $\left( {g \circ f} \right)\left( 3 \right) = 83$.

4. $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = 2{x^2} + 7$
$\begin{array}{l} \left( {f \circ g} \right)\left( { - 2} \right) &= 2.{\left( { - 2} \right)^2} + 7\\ &= 8 + 7\\ &= 15 \end{array}$

Jadi, $\left( {f \circ g} \right)\left( -2 \right) = 15$.

Menentukan fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lain diketahui

Misalkan fungsi komposisi $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ dan fungsi $\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)$ diketahui dan fungsi $f\left( x \right)$ diketahui, maka fungsi $g\left( x \right)$ dapat kita ketahui. Demikian juga misalkan fungsi komposisi $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right)$ dan fungsi $\left( {g \circ f} \right)\left( x \right)$ diketahui dan fungsi $g\left( x \right)$ diketahui, maka fungsi $f\left( x \right)$ dapat kita ketahui. Untuk memahaminya, perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 3

Diketahui fungsi komposisi $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = - 3x + 4$ dan fungsi $f\left( x \right) = 2x - 1$. Tentukan fungsi $g\left( x \right)$.

Jawab

$\begin{array}{l} \left( {f \circ g} \right)\left( x \right) &= - 3x + 4\\ \Leftrightarrow f\left( {g\left( x \right)} \right) &= - 3x + 4\\ \Leftrightarrow 2g\left( x \right) - 1 &= - 3x + 4\\ \Leftrightarrow 2g\left( x \right) &= - 3x + 4 + 1\\ \Leftrightarrow 2g\left( x \right) &= - 3x + 5\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) &= \frac{{ - 3x + 5}}{2}\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) &= - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} \end{array}$

Jadi, fungsi $g\left( x \right) = - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$.

Contoh 4

Diketahui fungsi komposisi $\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = - 3x + 4$ dan fungsi $g\left( x \right) = 2x - 1$. Tentukan fungsi $f\left( x \right)$.

Jawab

$\begin{array}{l} \left( {f \circ g} \right)\left( x \right) &= - 3x + 4\\ \Leftrightarrow f\left( {g\left( x \right)} \right) &= - 3x + 4\\ \Leftrightarrow f\left( {2x - 1} \right) &= - 3x + 4 \end{array}$

Misalkan $2x - 1 = y$ maka $x = \frac{{y + 1}}{2}$. Diperolah:

$\begin{array}{l} f\left( y \right) &= - 3\left( {\frac{{y + 1}}{2}} \right) + 4\\ \Leftrightarrow f\left( y \right) &= - \frac{3}{2}y - \frac{3}{2} + 4\\ \Leftrightarrow f\left( y \right) &= - \frac{3}{2}y + \frac{5}{2} \end{array}$

dengan mengganti variabel $y$ dengan $x$ diperoleh:

$f\left( x \right) = - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$

Jadi, fungsi $f\left( x \right) = - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$.

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

Seperti pada umumnya operasi aljabar, baik operasi aljabar pada bilangan maupun operasi aljabar pada fungsi, operasi komposisi pada fungsi juga mempunyai sifat-sifat tertentu.

Sifat-sifat operasi komposisi pada fungsi-fungsi

1. Pada umumnya operasi komposisi pada fungsi-fungsi tidak komutatif. Untuk sembarang fungsi-fungsi $f\left( x \right)$ dan $g\left( x \right)$, pada umumnya berlaku:
\[\boxed{\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) \ne \left( {g \circ f} \right)\left( x \right)}\]
2. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif. Untuk sembarang fungsi-fungsi $f\left( x \right)$, $g\left( x \right)$, dan $h\left( x \right)$, berlaku:
\[\boxed{\left( {f \circ \left( {g \circ h} \right)} \right)\left( x \right) = \left( {\left( {f \circ g} \right) \circ h} \right)\left( x \right) = \left( {f \circ g \circ h} \right)\left( x \right)}\]
3. Dalam operasi komposisi fungsi-fungsi terdapat sebuah unsur identitas, yaitu fungsi identitas $I\left( x \right) = x$. Fungsi identitas $I\left( x \right) = x$ ini mempunyai sifat:
\[\boxed{\left( {f \circ I} \right)\left( x \right) = \left( {I \circ f} \right)\left( x \right) = f\left( x \right)}\]