Silogisme, Modus Ponens, dan Modul Tollens

Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens adalah metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan. Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya (disebut premis). Kemudian, dengan menggunakan prinsip-prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (disebut kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari premis-premis semula. Penarikan kesimpulan seperti itu sering juga disebut argumentasi.

Prinsip-prinsip logika yang dipakai dalam proses penarikan kesimpulan adalah sebagai berikut.

1. Argumentasi dikatakan berlaku atau sah, jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi.
2. Argumentasi dikatakan tidak berlaku atau tidak sah, jika konjungsi dari premis-premisnya tidak berimplikasi konklusi.

Misalkan pernyataan-pernyataan yang diketahui (premis-premis) adalah $a$ dan $b$, konklusinya $c$, maka prinsip-prinsip logika tersebut dapat dinyatakan dengan premis-premis dan konklusi sebagai berikut.

1. Untuk argumentasi yang sah : $a \wedge b \Rightarrow c$.
2. Untuk argumentasi yang tidak sah : $a \wedge b\cancel{ \Rightarrow }c$ (tanda $\cancel{ \Rightarrow }$ dibaca : tidak berimplikasi).

Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar. Suatu argumentasi disusun dengan cara menuliskan premis-premisnya baris demi baris dari atas ke bawah, kemudian dibuat garis mendatar sebagai batas antara premis-premis dengan konklusi.

Sebagai contoh, argumentasi di atas dapat disajikan dengan susunan sebagai berikut.

$\begin{array}{l} a \cdots \cdots \text{premis 1}\\ \underline {b \cdots \cdots \text{premis 2}} \\ \therefore c \cdots \cdots \text{kesimpulan/konklusi} \end{array}$

Pernyataan $a$ sebagai premis 1, pernyataan $b$ sebagai premis 2, dan pernyataan $c$ sebagai kesimpulan/konklusi. Tanda $\therefore $ dibaca "jadi" atau "oleh karena itu".

Silogisme

Misalkan diketahui premis-premis $p \Rightarrow q$ dan $q \Rightarrow r$. Dari premis-premis itu dapat ditarik konklusi $p \Rightarrow r$. Penarikan kesimpulan dengan cara itu disebut kaidah silogisme. Kaidah silogisme menggunakan sifat penghantar atau transitif dari pernyataan implikasi. Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut.

$\begin{array}{l} p \Rightarrow q \cdots \cdots \text{premis 1}\\ \underline {q \Rightarrow r \cdots \cdots \text{premis 2}} \\ p \Rightarrow r \cdots \cdots \text{konklusi} \end{array}$

Contoh 1

Tentukan konklusi dari premis-premis berikut ini.

• Jika Ali rajin belajar, maka ia akan menjadi anak yang pandai.
• Jika Ali menjadi anak yang pandai, maka ia akan mendapat hadiah sepeda dari ayahnya.

Jawab

Misal :

$p:$ Ali rajin belajar

$q:$ Ali akan menjadi anak yang pandai.

$r:$ Ali akan mendapat hadiah sepeda dari ayahnya.

Premis-premis di atas dapat dinyatakan sebagai berikut.

$\begin{array}{l} p \Rightarrow q\\ \underline {q \Rightarrow r} \\ \therefore p \Rightarrow r \end{array}$

Jadi konklusi dari premis-premis di atas adalah $p \Rightarrow r$ atau "Jika Ali rajin belajar, maka ia akan mendapat hadiah sepeda dari ayahnya".

Modus Ponens

Misalkan diketahui premis-premis $p \Rightarrow q$ dan $p$. Dari premis-premis itu dapat dimabil konklusi $q$. Pengambilan kesimpulan seperti itu disebut modus ponens atau kaidah pengasingan. Modus ponens disajikan dalam susunan sebagai berikut.

$\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {p \Rightarrow q}&{ \cdots \text{ premis 1}}\\ p&{ \cdots \text{ premis 2}} \end{array}\\ \therefore q \cdots \cdots \text{ konklusi/kesimpulan} \end{array}$

Contoh 2

Tentukan konklusi dari premis-premis berikut ini.

• Jika Akbar rajin belajar, maka ia akan naik kelas.
• Akbar rajin belajar.

Jawab

Misal :

$p:$ Akbar rajin belajar

$q:$ Akbar akan naik kelas.

Premis-premis di atas dapat dinyatakan sebagai berikut.

$\begin{array}{l} p \Rightarrow q\\ p\\ \therefore q \end{array}$

Jadi konklusi dari premis-premis di atas adalah $q$ atau "Akbar akan naik kelas".

Modus Tollens

Misalkan diketahui premis-premis $p \Rightarrow q$ dan $ \sim q$. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi $ \sim p$. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus tollens atau kaidah penolakan akibat. Modus tollens disajikan dalam susunan sebagai berikut.

$\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {p \Rightarrow q}&{ \cdots \text{ premis 1}}\\ { \sim q}&{ \cdots \text{ premis 2}} \end{array}\\ \therefore \sim p \cdots \cdots \text{ konklusi/kesimpulan} \end{array}$