Logaritma

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah invers dari suatu perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga sesuai dengan yang telah diketahui.

Definisi : Logaritma Bilangan

Misalkan $a$ adalah bilangan positif $\left( {a > 0} \right)$ dan $g$ adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 $\left( {0 < g < 1 \text{ atau }g > 0} \right)$. \[\boxed{{}^g\log a = x \Leftrightarrow {g^x} = a}\]

Keterangan:

• $g$ disebut bilangan pokok atau basis logaritma, dengan ketentuan ${0 < g < 1}$ atau ${g > 0}$. Jika $g=10$, bilangan pokok ini bisa tidak dituliskan. Jadi ${}^{10}\log 4$ ditulis $\log 4$. Jika $g = e\left( {e \simeq 2,7128 \cdots } \right)$ maka ${}^e\log a$ ditulis sebagai $\ln a$ (dibaca : logaritma natural dari $a$), yaitu logaritma dengan bilangan pokok $e$.
• $a$ disebut sebagai numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan ketentuan $a>0$.
• $x$ disebut hasil logaritma, nilai dapat positif, nol, atau negatif.
• Bentuk ${g^x} = a$ dan $x = {}^g\log a$ merupakan dua pernyataan yang ekuivalen (setara), ${g^x} = a$ disebut bentuk eksponensial dan $x = {}^g\log a$ disebut bentuk logaritmik dalam hubungan itu.

Ekspresi atau hubungan matematika pada definisi di atas menunjukkan bahwa bilangan dalam bentuk pangkat dapat diubah ke bentuk logaritma dan sebaliknya. Sebagai akibat dari definisi logaritma di atas, maka dapat ditunjukkan berlakunya sifat-sifat pokok logaritma sebagai berikut.

1. ${}^g\log {g^n} = n$
2. ${}^g\log g = 1$
3. ${}^g\log 1 = 0$

Contoh 1

Nyatakan tiap bentuk eksponen di bawah ini dengan memakai notasi logaritma.

1. ${5^3} = 125$
2. ${4^0} = 1$
3. ${6^1} = 6$
4. ${4^{ - 2}} = \frac{1}{{16}}$

Jawab

1. ${5^3} = 125 \Leftrightarrow {}^5\log 125 = 3$
2. ${4^0} = 1 \Leftrightarrow {}^4\log 1 = 0$
3. ${6^1} = 6 \Leftrightarrow {}^6\log 6 = 1$
4. ${4^{ - 2}} = \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow {}^4\log \frac{1}{{16}} = - 2$

Contoh 2

Carilah nilai tiap logaritma berikut ini.

1. ${}^5\log 0,04$
2. ${}^{\sqrt 3 }\log 27$
3. ${}^4\log \sqrt 2 $

Jawab

$\begin{array}{l} {}^5\log 0,04 &= {}^5\log \frac{4}{{100}}\\ &= {}^5\log \frac{1}{{25}}\\ &= {}^5\log \frac{1}{{{5^2}}}\\ &= {}^5\log {5^{ - 2}}\\ &= - 2 \end{array}$
$\begin{array}{l} {}^{\sqrt 3 }\log 27 &= {}^{\sqrt 3 }\log {3^3}\\ &= {}^{\sqrt 3 }\log {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \right)^3}\\ &= {}^{\sqrt 3 }\log {\left( {\sqrt 3 } \right)^6}\\ &= 6 \end{array}$
$\begin{array}{l} {}^4\log \sqrt 2 &= {}^4\log {2^{\frac{1}{2}}}\\ &= {}^4\log {\left( {{4^{\frac{1}{2}}}} \right)^{\frac{1}{2}}}\\ &= {}^4\log {4^{\frac{1}{4}}}\\ &= \frac{1}{4} \end{array}$

Sifat-Sifat Logaritma

Sifat 1

Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan tersebut, ditulis.

\[\boxed{{}^g\log \left( {a \times b} \right) = {}^g\log a + {}^g\log b}\]

Contoh 3

Sederhakan!

1. ${}^2\log 4 + {}^2\log 8$
2. ${}^5\log \frac{1}{2} + {}^5\log 50$

Jawab

$\begin{array}{l} {}^2\log 4 + {}^2\log 8 &= {}^2\log \left( {4 \times 8} \right)\\ &= {}^2\log 32\\ &= {}^2\log {2^5}\\ &= 5 \end{array}$
$\begin{array}{l} {}^5\log \frac{1}{2} + {}^5\log 50 &= {}^5\log \left( {\frac{1}{2} \times 50} \right)\\ &= {}^5\log 25\\ &= {}^5\log {5^2}\\ &= 2 \end{array}$

Sifat 1

Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing-masing bilangan tersebut, ditulis.

\[\boxed{^g\log \left( {\frac{a}{b}} \right){ = ^g}\log a{ - ^g}\log b}\]

Contoh 4

Sederhakan!

1. ${}^7\log 56 - {}^7\log 8$
2. $\log 0,004 - \log 4$

Jawab

$\begin{array}{l} {}^7\log 56 - {}^7\log 8 &= {}^7\log \left( {\frac{{56}}{8}} \right)\\ &= {}^7\log 7\\ &= 1 \end{array}$
$\begin{array}{l} \log 0,004 - \log 4 &= \log \left( {\frac{{0,004}}{4}} \right)\\ &= \log 0,001\\ &= \log {10^{ - 3}}\\ &= - 3 \end{array}$

Sifat 3

Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma bilangan itu, ditulis.

\[\boxed{{}^g\log {a^n} = n \times {}^g\log a}\]

Contoh 5

Sederhakan!

1. $2\log 25 + 3\log 5 - \log 20$
2. $\frac{1}{2}{}^2\log 81 - 3{}^2\log 3 + {}^2\log 48$

Jawab

$\begin{array}{l} 2\log 25 + 3\log 5 - \log 20 &= \log {25^2} - \log {5^3} + \log 20\\ &= \log \left( {\frac{{{{25}^2} \times 20}}{{{5^3}}}} \right)\\ &= \log 100\\ &= \log {10^2}\\ &= 2 \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{1}{2}{}^2\log 81 - 3{}^2\log 3 + {}^2\log 48 &= {}^2\log {81^{\frac{1}{2}}} - {}^2\log {3^3} + {}^2\log 48\\ &= {}^2\log \left( {\frac{{9 \times 48}}{{{3^3}}}} \right)\\ &= {}^2\log 16\\ &= {}^2\log {2^4}\\ &= 4 \end{array}$

Sifat 4

Mengubah bilangan pokok logaritma:

\[\boxed{{}^g\log a = \frac{{{}^p\log a}}{{{}^p\log g}}}\]

Jika $p=a$, menjadi:

\[\boxed{{}^g\log a = \frac{1}{{{}^a\log g}}}\]

Contoh 6

Jika ${}^2\log 3 = p$, nyatakan logaritma-logaritma di bawah ini dalam $p$.

1. ${}^{16}\log 3$
2. ${}^{3}\log 2$

Jawab

$\begin{array}{l} {}^{16}\log 3 &= \frac{{{}^2\log 3}}{{{}^2\log 16}}\\ &= \frac{{{}^2\log 3}}{{{}^2\log {2^4}}}\\ &= \frac{p}{4}\\ &= \frac{1}{4}p \end{array}$
$\begin{array}{l} {}^3\log 2 &= \frac{1}{{{}^2\log 3}}\\ &= \frac{1}{p} \end{array}$

Sifat 5

Sifat 5 merupakan perluasan dari sifat-sifat yang sebelumnya,

1. ${}^g\log a \times {}^a\log b = {}^g\log b$
2. ${}^{{g^n}}\log {a^m} = \frac{m}{n} \times {}^g\log a$
3. ${}^{{g^n}}\log {a^n} = {}^g\log a$

Contoh 7

1. Hitunglah ${}^2\log 5 \times {}^5\log 64$.
2. Jika ${}^2\log 3 = a$, nyatakan logaritma-logaritma berikut ini dalam $a$
1. ${}^4\log 81$
2. ${}^8\log 27$

Jawab

$\begin{array}{l} ^2\log 5{ \times ^5}\log 64 &= {}^2\log 64\\ &= {}^2\log 64\\ &= 6 \end{array}$
$\begin{array}{l} {}^4\log 81 &= {}^{{2^2}}\log {3^4}\\ &= \frac{4}{2}{}^2\log 3\\ &= 2.a\\ &= 2a \end{array}$
$\begin{array}{l} {}^8\log 27 &= {}^{{2^3}}\log {3^3}\\ &= \frac{3}{3}{}^2\log 3\\ &= 1.a\\ &= a \end{array}$

Sifat 6

Sifat 6 merupakan perluasan dari definisi logaritma

\[\boxed{{g^{{}^g\log a}} = a}\]

Contoh 8

Sederhanakan!

1. ${2^{{}^2\log 3}}$
2. ${10^{\log 5}}$
3. ${7^{{}^7\log 4}}$

Jawab

1. ${2^{{}^2\log 3}} = 3$
2. ${10^{\log 5}} = 5$
3. ${7^{{}^7\log 4}} = 4$

Contoh 9

Jika $\log p = a$, $\log q = b$, dan $\log r = c$, nyatakan tiap bentuk logaritma berikut ini dalam bentuk $a$, $b$, dan $c$!

1. $\log \left( {q{r^4}\sqrt p } \right)$
2. $\log \left( {\frac{{\sqrt p }}{{{r^3}\sqrt[3]{q}}}} \right)$

Jawab

$\begin{array}{l} \log \left( {q{r^4}\sqrt p } \right) &= \log q + \log {r^4} + \log \sqrt p \\ &= \log q + 4\log r + \frac{1}{2}\log p\\ &= b + 4c + \frac{1}{2}a\\ &= \frac{1}{2}a + b + 4c \end{array}$
$\begin{array}{l} \log \left( {\frac{{\sqrt p }}{{{r^3}\sqrt[3]{q}}}} \right) &= \log \sqrt p - \log {r^3} - \log \sqrt[3]{q}\\ &= \frac{1}{2}\log p - 3\log r - \frac{1}{3}\log q\\ &= \frac{1}{2}a - 3c - \frac{1}{3}b\\ &= \frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b - 3c \end{array}$