Integral Substitusi

Tentang Integral Substitusi

Terkadang penyelesaian integral bentuk $\int {f\left( x \right)} dx$ memerlukan teknik-teknik khusus. Satu diantara teknik khusus itu adalah dengan menggunakan rumus integral substitusi. Ada dua macam rumus integral substitusi yang biasa digunakan, yaitu:

1. Pengintegralan yang dapat diubah dalam bentuk $\int {f\left( u \right)} du$
2. Pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk $\sqrt {{a^2} - {x^2}} $, $\sqrt {{a^2} + {x^2}} $, dan $\sqrt {{x^2} - {a^2}} $

Pengintegralan yang dapat diubah dalam bentuk $\int {f\left( u \right)} du$

Misalkan dengan menggunakan substitusi $u = g\left( x \right)$, dengan $g$ adalah fungsi yang mempunyai turunan, sehingga $\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)} g'\left( x \right)dx$ dapat diubah menjadi $\int {f\left( u \right)} du$. Jika ${f\left( u \right)}$ anti diferensial dari ${f\left( x \right)}$ maka:

$\boxed{\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)} g'\left( x \right)dx = \int {f\left( u \right)} du = F\left( u \right) + C = F\left( {g\left( x \right)} \right) + C}$

Teknik perhitungan pengintegralan dengan menggunakan rumus integral substitusi memerlukan dua langkah sebagai berikut:

1. Memilih fungsi $u = g\left( x \right)$ sehingga $\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)} g'\left( x \right)dx$ dapat diubah menjadi $\int {f\left( u \right)} du$.
2. Tentukan fungsi integral umum ${f\left( u \right)}$ yang bersifat $F'\left( {du} \right) = f\left( u \right)$.

Untuk menentukan fungsi integral umum $f\left( u \right)$ yang bersifat $F'\left( {du} \right) = f\left( u \right)$, dapat diperoleh dengan mengembangkan rumus-rumus integral tak tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Rumus-rumus pengembangan itu dapat dirangkum sebagai berikut:

1. Pengintegralan Fungsi Aljabar
$\boxed{\int {{u^n}} du = \frac{1}{{n + 1}}{u^{n + 1}} + C},n \in Rasional,n \ne 1$
2. Pengintegralan Fungsi Trigonometri
• $\int {\sin udu = - \cos u + C} $
• $\int {\cos udu = \sin u + C} $
• $\int {{{\sec }^2}udu = \tan u + C} $
• $\int {\cos e{c^2}udu = - \cot u + C} $
• $\int {\tan u.\sec udu = \sec u + C} $
• $\int {\cot u.\cos ecudu = - \cos ecu + C} $

Contoh Soal

Tentukan integral-integral tak tentu berikut

1. $\int {{{\left( {4x + 5} \right)}^6}} dx$
2. ${\int {10x\left( {8{x^2} - 1} \right)} ^4}dx$
3. $\int {\sqrt {\sin x} } \cos xdx$
4. $\int {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} dx$

Jawab

1. Misal $u = 4x + 5$ maka $du = 4dx$ atau $dx = \frac{1}{4}du$
$\begin{array}{l} \int {{{\left( {4x + 5} \right)}^6}} dx = \int {{u^6}} .\frac{1}{4}du\\ = \frac{1}{4}\int {{u^6}} du\\ = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{7}{u^7}} \right) + C\\ = \frac{1}{{28}}{u^7} + C\\ = \frac{1}{{28}}{\left( {4x + 5} \right)^7} + C \end{array}$

Jadi, $\int {{{\left( {4x + 5} \right)}^6}} dx = \frac{1}{{28}}{\left( {4x + 5} \right)^7} + C$.

2. Misal $u = 8{x^2} - 1$ maka $du = 16xdx$ atau $dx = \frac{{du}}{{16x}}$
$\begin{array}{l} {\int {10x\left( {8{x^2} - 1} \right)} ^4}dx = {\int {10x\left( u \right)} ^4}.\frac{{du}}{{16x}}\\ = \int {\frac{{10}}{{16}}} {u^4}du = \int {\frac{5}{8}} {u^4}du\\ = \frac{5}{8}\int {{u^4}du} \\ = \frac{5}{8}\left( {\frac{1}{5}{u^5}} \right) + C\\ = \frac{1}{8}{u^5} + C\\ = \frac{1}{8}{\left( {8{x^2} - 1} \right)^5} + C \end{array}$

Jadi, ${\int {10x\left( {8{x^2} - 1} \right)} ^4}dx = \frac{1}{8}{\left( {8{x^2} - 1} \right)^5} + C$.

3. Misal $u = \sin x$ maka $du = \cos xdx$ atau $dx = \frac{{du}}{{\cos x}}$
$\begin{array}{l} \int {\sqrt {\sin x} } \cos xdx = {\int {\left( {\sin x} \right)} ^{\frac{1}{2}}}\cos xdx\\ = \int {{u^{\frac{1}{2}}}} \cos x.\frac{{du}}{{\cos x}}\\ = \int {{u^{\frac{1}{2}}}} du\\ = \frac{1}{{\frac{1}{2} + 1}}{u^{\frac{1}{2} + 1}} + C\\ = \frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}} + C\\ = \frac{2}{3}u\sqrt u + C\\ = \frac{2}{3}\sin x\sqrt {\sin x} + C \end{array}$

Jadi, $\int {\sqrt {\sin x} } \cos xdx = \frac{2}{3}\sin x\sqrt {\sin x} + C$.

4. Misal $u = \cos x$ maka $du = - \sin xdx$ atau $dx = - \frac{{du}}{{\sin x}}$
$\begin{array}{l} \int {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \int {\sin x.{{\cos }^{ - 2}}xdx} \\ = \int {\sin x.{u^{ - 2}}} . - \frac{{du}}{{\sin x}}\\ = - \int {{u^{ - 2}}du} \\ = - \left( {\frac{1}{{ - 2 + 1}}{u^{ - 2 + 1}}} \right) + C\\ = - \left( { - {u^{ - 1}}} \right) + C\\ = {u^{ - 1}} + C\\ = \frac{1}{u} + C\\ = \frac{1}{{\cos x}} + C \end{array}$

Jadi, $\int {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \frac{1}{{\cos x}} + C$.

Pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk $\sqrt {{a^2} - {x^2}} $, $\sqrt {{a^2} + {x^2}} $, dan $\sqrt {{x^2} - {a^2}} $

Pengintegralan yang memuat bentuk-bentuk $\sqrt {{a^2} - {x^2}} $, $\sqrt {{a^2} + {x^2}} $, dan $\sqrt {{x^2} - {a^2}} $ dapat diselesaikan dengan menggunakan integral substitusi seperti pada tabel berikut:

Fungsi integral	Substitusi	Hasil Substitusi
$\sqrt {{a^2} - {x^2}} $	$x = a\sin \theta $	$a\sqrt {1 - {{\sin }^2}\theta } = a\cos \theta $
$\sqrt {{a^2} + {x^2}} $	$x = a\tan \theta $	$a\sqrt {1 + {{\tan }^2}\theta } = a\sec \theta $
$\sqrt {{x^2} - {a^2}} $	$x = a\sec \theta $	$a\sqrt {{{\sec }^2}\theta - 1} = a\tan \theta $

Pengintegralan dengan menggunakan substitusi trigonometri pada awalnya menghasilkan suatu fungsi dalam variabel sudut $\theta $. Untuk menyatakan hasil pengintegralan itu ke dalam variabel semula (variabel $x$) digunakan hubungan invers fungsi trinogometri atau fungsi arcus.

Contoh Soal

Tentukan integral-integral tak tentu berikut

1. $\int {\sqrt {64 - {x^2}} } dx$
2. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} $

Jawab

1. Misal $x = 8\sin \theta $ maka $dx = 8\cos \theta d\theta $
$\begin{array}{l} \int {\sqrt {64 - {x^2}} } dx = \int {\sqrt {{8^2} - {x^2}} } dx\\ = \int {\sqrt {{8^2} - {8^2}{{\sin }^2}\theta } } .8\cos \theta d\theta \\ = \int {8\sqrt {1 - {{\sin }^2}\theta } } .8\cos \theta d\theta \\ = \int {8\sqrt {{{\cos }^2}\theta } } .8\cos \theta d\theta \\ = \int {8\cos \theta } .8\cos \theta d\theta \\ = 64\int {{{\cos }^2}\theta d\theta } \\ = 64\int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2\theta } \right)} d\theta \\ = 64\left( {\frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta } \right) + C\\ = 32\theta + 32\sin \theta \cos \theta + C \end{array}$

$x = 8\sin \theta $ maka $\sin \theta = \frac{x}{8}$, diperoleh $\theta = \arcsin \left( {\frac{x}{8}} \right)$.

$\sin \theta = \frac{x}{8}$ maka $\cos \theta = \frac{{\sqrt {{8^2} - {x^2}} }}{8}$

$\begin{array}{l} \int {\sqrt {64 - {x^2}} } dx = 32\theta + 32\sin \theta \cos \theta + C\\ = 32\arcsin \left( {\frac{x}{8}} \right) + 32.\frac{x}{8}.\frac{{\sqrt {{8^2} - {x^2}} }}{8} + C\\ = 32\arcsin \left( {\frac{x}{8}} \right) + \frac{x}{2}\sqrt {{8^2} - {x^2}} + C \end{array}$

Jadi, $\int {\sqrt {64 - {x^2}} } dx = 32\arcsin \left( {\frac{x}{8}} \right) + \frac{x}{2}\sqrt {{8^2} - {x^2}} + C$

2. Misal $x = 2\sin \theta $ maka $dx = 2\cos \theta d\theta $
$\begin{array}{l} \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{2^2} - {x^2}} }}} \\ = \int {\frac{{2\cos \theta d\theta }}{{\sqrt {{2^2} - {2^2}{{\sin }^2}\theta } }}} \\ = \int {\frac{{2\cos \theta d\theta }}{{2\sqrt {1 - {{\sin }^2}\theta } }}} \\ = \int {\frac{{2\cos \theta d\theta }}{{2\cos \theta }}} \\ = \int {d\theta } \\ = \theta + C \end{array}$

$x = 2\sin \theta $ maka $\sin \theta = \frac{x}{2}$, diperoleh $\theta = \arcsin \left( {\frac{x}{2}} \right)$

$\begin{array}{l} \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} = \theta + C\\ = \arcsin \left( {\frac{x}{2}} \right) + C \end{array}$

Jadi, $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} = \arcsin \left( {\frac{x}{2}} \right) + C$