Menentukan Rumus Fungsi Kuadrat

Menentukan Sumbu Simetri dan Nilai Optimum Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat dengan bentuk umum $y = a{x^2} + bx + c$ dengan $a \ne 0$ berbentuk parabola. Grafik tersebut memiliki sumbu simetri dan nilai optimum. Gabungan antara nilai sumbu simetri dengan nilai optimum disebut dengan titik puncak.

Rumus Sumbu Simetri dan Nilai Optimum Fungsi Kuadrat

1. Sumbu Simetri 

${x_0} = - \frac{b}{{2a}}$

2. Nilai Optimum 

${y_0} = - \frac{D}{{4a}}$ dengan $D = {b^2} - 4ac$

3. Koordinat Titik Puncak

$\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( { - \frac{b}{{2a}}, - \frac{D}{{4a}}} \right)$

Perhatikan grafik fungsi $y = {x^2} - 4$

Dari grafik diatas sumbu Y $\left( {x = 0} \right)$ disebut sumbu simetri. Nilai terendah $y = - 4$ disebut sebagai nilai optimum (nilai minimum). Titik terendah $\left( {0, - 4} \right)$ disebut sebagai titik puncak.

Contoh:

Tentukan sumbu simetri, nilai optimum, dan koordinat titik puncak dari fungsi kuadrat $y = {x^2} + 5x + 6$!

Jawab: 

$\begin{array}{l} y = {x^2} + 5x + 6\\ a = 1\\ b = 5\\ c = 6 \end{array}$

1. Sumbu Simetri 

${x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{5}{{2.1}} = - \frac{5}{2} = - 2\frac{1}{2}$

2. Nilai Optimum

$\begin{array}{l} D = {b^2} - 4ac\\ D = {5^2} - 4.1.6 = 25 - 24 = 1\\ {y_0} = - \frac{D}{{4a}} = - \frac{1}{{4.1}} = - \frac{1}{4} \end{array}$

3. Titik Puncak

Titik puncak = $\left( {{x_0},{y_0}} \right) = \left( { - 2\frac{1}{2}, - \frac{1}{4}} \right)$

Menentukan Rumus Fungsi Kuadrat

1. Fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik $\left( {{x_1},0} \right)$ dan $\left( {{x_2},0} \right)$ dan melalui titik $\left( {x,y} \right)$, dirumuskan sebagai berikut:

$y = p\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$

2. Fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $\left( {a,b} \right)$ dan melalui titik $\left( {x,y} \right)$, dirumuskan sebagai berikut:

$y = p{\left( {x - a} \right)^2} + b$

2. Persamaan kuadrat yang melalui 3 titik  berbeda, dapat dicari dengan substitusi pada persamaan berikut:

$y = a{x^2} + bx + c$

Contoh 1:

Tentukan persamaan kuadrat yang memotong sumbu X di titik $\left( { - 4,0} \right)$ dan $\left( { 2,0} \right)$ dan melalui titik $\left( {1, - 5} \right)$!

Jawab:

Dari soal diketahui :

$\begin{array}{l} {x_1} = - 4\\ {x_2} = 2\\ x = 1\\ y = - 5 \end{array}$

Dengan menggunakan rumus di atas diperoleh: 

$\begin{array}{l} y = p\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\\ y = p\left( {x - \left( { - 4} \right)} \right)\left( {x - 2} \right)\\ y = p\left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) \end{array}$

Karena melalui titik $\left( {1, - 5} \right)$ maka nilai $x = 1$ dan $y = -5$. Nilai tersebut disubstitusikan sehingga diperoleh:

$\begin{array}{l} y = p\left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)\\ - 5 = p\left( {1 + 4} \right)\left( {1 - 2} \right)\\ - 5 = p.5.\left( { - 1} \right)\\ - 5 = - 5p\\ p = \frac{{ - 5}}{{ - 5}} = 1 \end{array}$

Nilai $p=1$ disubstitusikan ke persamaan awal, sehingga diperoleh:

$\begin{array}{l} y = p\left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow y = 1\left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow y = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \therefore y = {x^2} + 2x - 8 \end{array}$

Jadi fungsi kuadrat yang dimaksud adalah $y = {x^2} + 2x - 8$

Contoh 2:

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki titik puncak $\left( { - 1,- 9} \right)$ dan melalui titik $\left( {0, - 8} \right)$!

Jawab:

Dari soal diketahui :

$\begin{array}{l} a = - 1\\ b = -9\\ x = 0\\ y = - 8 \end{array}$

Fungsi memiliki titik puncak $\left( { - 1,- 9} \right)$ dengan menggunakan rumus di atas diperoleh: 

$\begin{array}{l} y = p{\left( {x - a} \right)^2} + b\\ \Leftrightarrow y = p{\left( {x - \left( { - 1} \right)} \right)^2} + \left( { - 9} \right)\\ \Leftrightarrow y = p{\left( {x + 1} \right)^2} - 9 \end{array}$

Karena melalui titik $\left( {0, - 8} \right)$ maka nilai $x = 0$ dan $y = -8$. Nilai tersebut disubstitusikan sehingga diperoleh:

$\begin{array}{l} y = p{\left( {x + 1} \right)^2} - 9\\ \Leftrightarrow - 8 = p{\left( {0 + 1} \right)^2} - 9\\ \Leftrightarrow - 8 = p - 9\\ \Leftrightarrow p = - 8 + 9 = 1 \end{array}$

Nilai $p=1$ disubstitusikan ke persamaan awal, sehingga diperoleh:

$\begin{array}{l} y = p{\left( {x + 1} \right)^2} - 9\\ \Leftrightarrow y = 1{\left( {x + 1} \right)^2} - 9\\ \Leftrightarrow y = {\left( {x + 1} \right)^2} - 9\\ \Leftrightarrow y = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 9\\ \Leftrightarrow y = {x^2} + 2x - 8 \end{array}$

Jadi fungsi kuadrat yang dimaksud adalah $y = {x^2} + 2x - 8$

Contoh 3:

Tentukan rumus fungsi kuadrat yang melalui titik $\left( { - 3,- 5} \right)$, $\left( { 1,- 5} \right)$, dan $\left( { 0,-8} \right)$!

Jawab:

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah $y = a{x^2} + bx + c$

Dengan substitusi titik-titik tersebut pada rumus diperoleh:

1. Untuk titik $\left( { - 3,- 5} \right)$ diperoleh:

$\begin{array}{l} y = a{x^2} + bx + c\\ \Leftrightarrow - 5 = a.{\left( { - 3} \right)^2} + b.\left( { - 3} \right) + c\\ \Leftrightarrow - 5 = 9a - 3b + c\\ \Leftrightarrow 9a - 3b + c = -5 \cdots \cdots \left( 1 \right) \end{array}$

2. Untuk titik $\left( { 1,- 5} \right)$ diperoleh:

$\begin{array}{l} y = a{x^2} + bx + c\\ \Leftrightarrow - 5 = a.{\left( 1 \right)^2} + b.\left( 1 \right) + c\\ \Leftrightarrow - 5 = a + b + c\\ \Leftrightarrow a + b + c = - 5 \cdots \cdots \left( 2 \right) \end{array}$

3. Untuk titik $\left( { 0,-8} \right)$ diperoleh:

$\begin{array}{l} y = a{x^2} + bx + c\\ \Leftrightarrow - 8 = a{.0^2} + b.0 + c\\ \Leftrightarrow - 8 = 0 + 0 + c\\ \Leftrightarrow c = - 8 \cdots \cdots \left( 3 \right) \end{array}$

4. Substitusikan persamaan (3) ke (1), diperoleh:

$\begin{array}{l} 9a - 3b + c = - 5 \cdots \left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow 9a - 3b + \left( { - 8} \right) = - 5\\ \Leftrightarrow 9a - 3b = - 5 + 8\\ \Leftrightarrow 9a - 3b = 3 \cdots \cdots \left( 4 \right) \end{array}$

5. Substitusikan persamaan (3) ke (2), diperoleh:

$\begin{array}{l} a + b + c = - 5 \cdots \left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow a + b + \left( { - 8} \right) = - 5\\ \Leftrightarrow a + b = - 5 + 8\\ \Leftrightarrow a + b = 3\\ \Leftrightarrow a = 3 - b \cdots \cdots \left( 5 \right) \end{array}$

6. Substitusikan persamaan (5) ke (4), diperoleh:

$\begin{array}{l} 9a - 3b = 3 \cdots \cdots \left( 4 \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {3 - b} \right) - 3b = 3\\ \Leftrightarrow 27 - 9b - 3b = 3\\ \Leftrightarrow 27 - 12b = 3\\ \Leftrightarrow - 12b = 3 - 27\\ \Leftrightarrow - 12b = - 24\\ \Leftrightarrow b = \frac{{ - 24}}{{ - 12}} = 2 \end{array}$

7. Subtitusikan nilai $b=2$ ke persamaan (5), diperoleh:

$\begin{array}{l} a = 3 - b \cdots \cdots \left( 5 \right)\\ \Leftrightarrow a = 3 - 2\\ \Leftrightarrow a = 1 \end{array}$

8. Subtitusikan nilai $a=1$, $b=2$, dan $c=-8$ pada persamaan awal, diperoleh:

$\begin{array}{l} y = a{x^2} + bx + c\\ y = 1.{x^2} + 2.x + \left( { - 8} \right)\\ y = {x^2} + 2x - 8 \end{array}$

Jadi fungsi kuadrat yang dimaksud adalah $y = {x^2} + 2x - 8$.

Demikian artikel tentang penentuan fungsi kuadrat. Semoga bermanfaat.