Menyelesaikan Permasalahan Terkait dengan Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Pendahuluan

Banyak sekali permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat kita selesaikan dengan menggunakan persamaan/fungsi kuadrat. Permasalahan fungsi kuadrat secara khusus biasanya terkait dengan masalah nilai optimum, bisa berupa nilai maksimum atau nilai minimum. Berikut ini beberapa contoh dari permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan fungsi/persamaan kuadrat.

CONTOH 1:

Seorang tukang bangunan akan membuat talang (saluran air dari atap bangunan) dengan lembaran seng berukuran lebar 60 cm (lihat gambar berikut). Lembaran seng tersebut dilipat pada kedua bagian sehingga membentuk seperti huruf "U". Tentukan ukuran tinggi dan lebar talang, agar air yang yang bisa mengalir lewat talang maksimal?

Jawab:

Lebar talang mula-mula = $60 cm$.

Setelah talang dilipat membentuk huruf "U", maka tinggi dan lebar talang dapat dihitung sebagai berikut:

Tinggi talang : $t = x cm$.

Lebar talang :  $l = (60 - 2x)cm$

Untuk menentukan banyak air yang lewat talang, sama artinya dengan mencari luas penampang dari talang tersebut. Sehingga diperoleh:

$\begin{array}{l} {L_{talang}} = l \times t\\ \Leftrightarrow {L_{talang}} = (60 - 2x) \times x\\ \Leftrightarrow {L_{talang}} = x(60 - 2x)\\ \Leftrightarrow {L_{talang}} = 60x - 2{x^2}\\ \Leftrightarrow {L_{talang}} = - 2{x^2} + 60x \end{array}$

Dari hasil terakhir dapat kita lihat bahwa ${L_{talang}} = - 2{x^2} + 60x$ adalah sebuah fungsi kuadrat. Untuk menentukan ${L_{talang}}$ maksimum dapat kita cari dengan menggunakan nilai optimum dari fungsi kuadrat yang rumusnya sebagai berikut:

$\begin{array}{*{20}{c}} {Nilai}&{Optimum:y = \frac{{ - D}}{{4a}}} \end{array}$

Luas optimum/maksimum dapat dicari sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {L_{talang}} = - 2{x^2} + 60x\\ a = - 2\\ b = 60\\ c = 0\\ D = {b^2} - 4ac = {60^2} - 4.\left( { - 2} \right).0\\ D = 3.600 - 0 = 3600\\ \begin{array}{*{20}{c}} {Nilai}&{Optimum:y = \frac{{ - D}}{{4a}}} \end{array}\\ y = \frac{{ - 3.600}}{{4.\left( { - 2} \right)}} = \frac{{ - 3.600}}{{ - 8}} = 450 \end{array}$

Jadi luas penampang talang maksimum adalah $450c{m^2}$.

Untuk menentukan lebar dan tinggi talang agar luas maksimum dapat dicari dengan menggunakan rumus sumbu simetri fungsi kuadrat. Perhitungannya sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {L_{talang}} = - 2{x^2} + 60x\\ a = - 2\\ b = 60\\ c = 0\\ \begin{array}{*{20}{c}} {Sumbu}&{Simetri:x = \frac{{ - b}}{{2a}}} \end{array}\\ x = \frac{{ - 60}}{{2.\left( { - 2} \right)}} = \frac{{ - 60}}{{ - 4}} = 15cm \end{array}$

Jadi luas talang maksimum jika nilai $x=15$.

Jadi lebar dan tinggi talang adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{l} tinggi:t = x = 15cm\\ lebar:l = \left( {60 - 2x} \right) = 60 - 2.15 = 60 - 30 = 30cm \end{array}$

CONTOH 2:

Jumlah dua bilangan adalah $25$. Jika hasil kali kedua bilangan sama dengan $100$, tentukan bilangan-bilangan tersebut!

Jawab:

Misal:

$\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {bilangan}&1 \end{array} = x\\ \begin{array}{*{20}{c}} {bilangan}&{2 = y} \end{array} \end{array}$

karena jumlah kedua bilangan $=25$ maka:

$\begin{array}{l} x + y = 25\\ \Leftrightarrow y = 25 - x \end{array}$

Hasil kali kedua bilangan sama dengan $100$, diperoleh:

$\begin{array}{l} x.y = 100\\ \Leftrightarrow x\left( {25 - x} \right) = 100\\ \Leftrightarrow 25x - {x^2} = 100\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 25x - 100 = 0 \end{array}$

Dengan menggunakan rumus ABC, diperoleh:

$\begin{array}{l} - {x^2} + 25x - 100 = 0\\ a = - 1\\ b = 25\\ c = - 100\\ {x_{1.2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ \Leftrightarrow {x_{1.2}} = \frac{{ - 25 \pm \sqrt {{{25}^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 100} \right)} }}{{2.\left( { - 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow {x_{1.2}} = \frac{{ - 25 \pm \sqrt {625 - 400} }}{{ - 2}}\\ \Leftrightarrow {x_{1.2}} = \frac{{ - 25 \pm \sqrt {225} }}{{ - 2}}\\ \Leftrightarrow {x_{1.2}} = \frac{{ - 25 \pm 15}}{{ - 2}}\\ {x_1} = \frac{{ - 25 + 15}}{{ - 2}} = \frac{{ - 10}}{{ - 2}} = 5\\ {x_2} = \frac{{ - 25 - 15}}{{ - 2}} = \frac{{ - 40}}{{ - 2}} = 20 \end{array}$

Jadi kedua bilangan tersebut adalah $5$ dan $20$.

CONTOH 3:

Suatu peluru ditembakkan ke atas. Tinggi peluru pada saat $t$ detik dirumuskan oleh $h\left( t \right) = 50t - 4{t^2}$ (dalam satuan meter). Tentukan tinggi maksimum yang ditempuh peluru tersebut!

Jawab:

Diketahui:

$\begin{array}{l} h\left( t \right) = 50t - 4{t^2}\\ a = - 4\\ b = 50\\ c = 0\\ D = {b^2} - 4ac = {50^2} - 4.\left( { - 4} \right).0 = 2.500 \end{array}$

Tinggi maksimum dari peluru dapat dicari dengan menggunakan rumus nilai maksimum fungsi kuadrat yaitu:

$\begin{array}{l} {y_{\max }} = \frac{{ - D}}{{4a}}\\ \Leftrightarrow {y_{\max }} = \frac{{ - 2.500}}{{4.\left( { - 4} \right)}}\\ \Leftrightarrow {y_{\max }} = \frac{{ - 2.500}}{{ - 16}}\\ \Leftrightarrow {y_{\max }} = 156\frac{1}{4} \end{array}$

Jadi tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh peluru adalah $156\frac{1}{4}$ meter.