Mencari Akar Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran/ Faktorisasi

Pendahuluan

Untuk menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan 3 cara yaitu:

1. Pemfaktoran/Faktorisasi
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
3. Rumus ABC

Pada kesempatan kali ini saya akan mencoba untuk menjelaskan untuk bagaimana mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan menggunakan cara yang pertama yaitu Pemfaktoran atau Faktorisasi.

Pemfaktoran/ Faktorisasi

Pemfaktoran atau faktorisasi diartikan sebagai mengubah suatu bilangan atau bentuk aljabar kedalam bentuk perkalian faktornya. Faktor suatu bilangan yaitu bilangan yang membagi habis bilangan tersebut. Sebagai contoh bilangan $12$ dapat kita ubah menjadi bentuk perkalian faktornya yaitu $2 \times 6$ atau $3 \times 4$.

Jika terkait Persamaan kuadrat maka pemfaktoran dilakukan dengan mengubah persamaan kedalam bentuk perkalian faktornya. Setelah persamaan diubah dalam bentuk faktor tinggal menggunakan sifat perkalian yaitu jika $a \times b = 0$ maka $a = 0$ atau $b = 0$.

Contoh Pemfaktoran/ Faktorisasi

Secara umum ada 2 bentuk persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan pemfaktoran/faktorisasi.

1. Bentuk $a{x^2} + bx + c = 0$ dengan $a=1$

Contoh Soal

Dengan menggunakan pemfaktoran/faktorisasi tentukan akar-akar/Himpunan Penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut:

1. ${x^2} + 5x + 6 = 0$
2. ${x^2} - 6x + 5 = 0$
3. ${x^2} - x - 12 = 0$
4. ${x^2} + 3x - 10 = 0$
5. ${x^2} - 9 = 0$
6. ${x^2} - 6x = 0$
Penyelesaian
1. ${x^2} + 5x + 6 = 0$

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah carilah dua bilangan yang jika ditambahkan hasilnya sama dengan $5$ dan jika dikalikan hasilnya sama dengan $6$. Karena hasil kali bilangan yang dicari positif dalam hal ini $6$, maka nanti pada tabel yang dicari adalah jumlah kedua bilangan. Untuk mempermudah mencari kedua bilangan tersebut, dapat kita buat tabel perkalian sebagai berikut:

6			Jumlah
1	$ \times $	6	7
2	$ \times $	3	5

Dari tabel di atas kombinasi 2 bilangan yang sesuai adalah $2$ dan $3$ dengan melihat kolom terakhir. Kedua bilangan tersebut kita masukkan dalam persamaan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {x^2} + 5x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right) = 0 \vee \left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = - 2 \vee x = - 3\\ \therefore HP = \left\{ { - 3, - 2} \right\} \end{array}$


2. ${x^2} - 6x + 5 = 0$

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah carilah dua bilangan yang jika ditambahkan hasilnya sama dengan $-6$ dan jika dikalikan hasilnya sama dengan $5$. Karena hasil kali bilangan yang dicari positif dalam hal ini $5$, maka nanti pada tabel yang dicari adalah jumlah kedua bilangan. Untuk mempermudah mencari kedua bilangan tersebut, dapat kita buat tabel perkalian sebagai berikut:

5			Jumlah
-1	$ \times $	-5	-6

Dari tabel di atas kombinasi 2 bilangan yang sesuai adalah $-5$ dan $-1$ dengan melihat kolom terakhir. Kedua bilangan tersebut kita masukkan dalam persamaan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {x^2} - 6x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right) = 0 \vee \left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 5 \vee x = 1\\ \therefore HP = \left\{ { 1, 5} \right\} \end{array}$


3. ${x^2} - x - 12 = 0$

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah carilah dua bilangan yang jika ditambahkan hasilnya sama dengan $-1$ dan jika dikalikan hasilnya sama dengan $-12$. Karena hasil kali bilangan yang dicari negatif dalam hal ini $-12$, maka nanti pada tabel yang dicari adalah selisih kedua bilangan. Untuk mempermudah mencari kedua bilangan tersebut, dapat kita buat tabel perkalian sebagai berikut:

-12			Selisih
1	$ \times $	12	11
2	$ \times $	6	4
3	$ \times $	4	1

Dari tabel di atas kombinasi 2 bilangan yang sesuai adalah $3$ dan $4$ dengan melihat kolom terakhir. Tetapi karena hasil perkalian bilangan tersebut negatif dan jumlah kedua bilangan negatif maka bilangan yang diambil adalah $-4$ dan $3$. Kedua bilangan tersebut kita masukkan dalam persamaan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {x^2} - x - 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right) = 0 \vee \left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 4 \vee x = - 3\\ \therefore HP = \left\{ { - 3, 4} \right\} \end{array}$


4. ${x^2} + 3x - 10 = 0$

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah carilah dua bilangan yang jika ditambahkan hasilnya sama dengan $3$ dan jika dikalikan hasilnya sama dengan $-10$. Karena hasil kali bilangan yang dicari negatif dalam hal ini $-10$, maka nanti pada tabel yang dicari adalah selisih kedua bilangan. Untuk mempermudah mencari kedua bilangan tersebut, dapat kita buat tabel perkalian sebagai berikut:

-10			Selisih
1	$ \times $	10	9
2	$ \times $	5	3

Dari tabel di atas kombinasi 2 bilangan yang sesuai adalah $2$ dan $5$ dengan melihat kolom terakhir. Tetapi karena hasil perkalian bilangan tersebut negatif dan jumlah kedua bilangan positif maka bilangan yang diambil adalah $-2$ dan $5$. Kedua bilangan tersebut kita masukkan dalam persamaan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {x^2} + 3x - 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right) = 0 \vee \left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 2 \vee x = - 5\\ \therefore HP = \left\{ { - 5, 2} \right\} \end{array}$


5. ${x^2} - 9 = 0$

Untuk yang bentuk soal seperti ini, kita bisa menggunakan rumus ${x^2} - {a^2} = \left( {x + a} \right)\left( {x - a} \right)$, sehingga soal tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {x^2} - 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - {3^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + 3 = 0 \vee x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 3 \vee x = 3\\ \therefore HP = \left\{ { - 3,3} \right\} \end{array}$
6. ${x^2} - 6x = 0$

Untuk soal ini karena nilai $c=0$, bisa kita faktorkan dengan cara mengeluarkan $x$. Soal tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut:

$\begin{array}{l} {x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 0 \vee x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 6\\ \therefore HP = \left\{ {0,6} \right\} \end{array}$

2. Bentuk $a{x^2} + bx + c = 0$ dengan $a \ne 1$

Untuk menentukan Himpunan Penyeleaian dari persamaan kuadrat bentuk $a{x^2} + bx + c = 0$ dengan $a \ne 1$ dapat dilakukan dengan rumus berikut: $a{x^2} + bx + c = \frac{{\left( {ax + p} \right)\left( {ax + q} \right)}}{a}$ dengan $p \times q = a \times c$ dan $p + q = b$.

Contoh Soal

Dengan menggunakan pemfaktoran/ faktorisasi tentukan akar-akar/ Himpunan Penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut:

1. $4{x^2} + 8x + 3 = 0$
2. $3{x^2} + 4x - 4 = 0$
3. $4{x^2} - 12x + 5 = 0$
Penyelesaian
1. $4{x^2} + 8x + 3 = 0$

Untuk menentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan kuadrat ini, langkah pertama yang harus dicari adalah nilai $p$ dan $q$ dengan syarat $p \times q = a \times c$ dan $p + q = b$. Dari soal ini yang harus dicari adalah $p$ dan $q$ dengan syarat $p \times q = 4 \times 3 = 12$ dan $p + q = 8$. Untuk mempermudah, bisa kita gunakan tabel berikut:

12			Jumlah
1	$ \times $	12	12
2	$ \times $	6	8
3	$ \times $	4	7

Dari tabel di atas, diperoleh nilai $p$ dan $q$ yang benar adalah $6$ dan $2$. Jika $p$ dan $q$ dimasukkan ke rumus akan diperoleh sebagai berikut:

$\begin{array}{l} 4{x^2} + 8x + 3 &= 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {4x + 6} \right)\left( {4x + 2} \right)}}{4} &= 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {2x + 3} \right).2\left( {2x + 1} \right)}}{4} &= 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\bcancel{4}\left( {2x + 3} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{\bcancel{4}}} &= 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {2x + 1} \right) &= 0\\ \Leftrightarrow 2x + 3 = 0 &\vee 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2x = - 3 &\vee 2x = - 1\\ \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2} &\vee x = - \frac{1}{2}\\ \therefore HP = \left\{ { - \frac{3}{2}, - \frac{1}{2}} \right\} \end{array}$
2. $3{x^2} + 4x - 4 = 0$

Untuk menentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan kuadrat ini, langkah pertama yang harus dicari adalah nilai $p$ dan $q$ dengan syarat $p \times q = a \times c$ dan $p + q = b$. Dari soal ini yang harus dicari adalah $p$ dan $q$ dengan syarat $p \times q = 3 \times -4 = -12$ dan $p + q = 4$. Untuk mempermudah, bisa kita gunakan tabel berikut:

-12			Selisih
1	$ \times $	12	11
2	$ \times $	6	4
3	$ \times $	4	1

Dari tabel di atas, diperoleh nilai $p$ dan $q$ yang benar adalah $6$ dan $-2$ (karena perkalian negatif dan penjumlahan positif). Jika $p$ dan $q$ dimasukkan ke rumus akan diperoleh sebagai berikut:

$\begin{array}{l} 3{x^2} + 4x - 4 &= 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {3x + 6} \right)\left( {3x - 2} \right)}}{3} &= 0\\ \Leftrightarrow \frac{{3\left( {x + 2} \right)\left( {3x - 2} \right)}}{3} &= 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\bcancel{3}\left( {x + 2} \right)\left( {3x - 2} \right)}}{{\bcancel{3}}} &= 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {3x - 2} \right) &= 0\\ \Leftrightarrow x + 2 = 0 &\vee 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 2 &\vee 3x = 2\\ \Leftrightarrow x = - 2 &\vee x = \frac{2}{3}\\ \therefore HP = \left\{ { - 2, \frac{2}{3}} \right\} \end{array}$
3. $4{x^2} - 12x + 5 = 0$

Untuk menentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan kuadrat ini, langkah pertama yang harus dicari adalah nilai $p$ dan $q$ dengan syarat $p \times q = a \times c$ dan $p + q = b$. Dari soal ini yang harus dicari adalah $p$ dan $q$ dengan syarat $p \times q = 4 \times 5 = 20$ dan $p + q = -12$. Untuk mempermudah, bisa kita gunakan tabel berikut:

20			Jumlah
1	$ \times $	20	21
2	$ \times $	10	12
4	$ \times $	5	9

Dari tabel di atas, diperoleh nilai $p$ dan $q$ yang benar adalah $-10$ dan $-2$ (karena perkalian positif dan penjumlahan negatif). Jika $p$ dan $q$ dimasukkan ke rumus akan diperoleh sebagai berikut:

$\begin{array}{l} 4{x^2} - 12x + 5 &= 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {4x - 10} \right)\left( {4x - 2} \right)}}{4} &= 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {2x - 5} \right)2\left( {2x - 1} \right)}}{4} &= 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\bcancel{4}\left( {2x - 5} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\bcancel{4}}} &= 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 5} \right)\left( {2x - 1} \right) &= 0\\ \Leftrightarrow 2x - 5 = 0 &\vee 2x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2x = 5 &\vee 2x = 1\\ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2} &\vee x = \frac{1}{2}\\ \therefore HP = \left\{ { \frac{1}{2}, 2\frac{1}{2}} \right\} \end{array}$

Demikian contoh-contoh penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan menggunakan pemfaktoran yang bisa saya berikan. Jika ada pertanyaan atau masalah silahkan bisa corat-coret pada kolom komentar. Semoga bermanfaat.